クリロフ＝ボゴリューボフの定理

クリロフ＝ボゴリューボフの定理

クリロフ＝ボゴリューボフの定理は、力学系の理論における重要な定理の一つであり、主に不変測度の存在を保証するものです。この定理は、ロシアとウクライナの数学者であるニコライ・クリロフとニコライ・ボゴリューボフの名前にちなんでいます。

不変測度の存在定理

定理の基本的な内容は、ある「良質」な空間において定義された連続写像に対して、不変測度が存在することです。具体的には、コンパクトな距離化可能位相空間 $(X, T)$ が与えられ、$F : X
ightarrow X$ が連続写像であるとします。このとき、$F$ はある不変なボレル確率測度を許す、つまり次の条件を満たす測度 $
u$ が存在することが保証されます。

$$
u(F^{-1}(A)) =
u(A)$$

ここで、$Borel(X)$ は$X$の開部分集合によって生成されるボレル σ-代数を指します。この場合、ボレル測度は、引き戻しによってもその測度が保たれる特性を持っています。これは、$
u$がどのような部分集合に対しても、$F$の逆像に対する測度が元の測度と等しくなることを意味します。

マルコフ過程における不変測度

クリロフ＝ボゴリューボフの定理は、マルコフ関連の文脈でも重要です。これには、ポーランド空間 $X$ における時間同次なマルコフ半群を考えます。この過程では、$P_t$ を $t
ightarrow ext{0}$ での移動確率とし、次の条件が成り立つものとします。

$$ ext{Pr}[X_t ext{ in } A | X_0 = x] = P_t(x, A)$$

この設定において、もしある点 $x ext{ in } X$ に対して確率測度の族 $egin{pmatrix} P_t(x, ullet) | t > 0 ext{ が一様に緊密}{ ext{ にいなければなりません}
ight) .

さらに、マルコフ過程の半群 $P_t$ がフェラーの性質を満たす場合には、少なくとも1つの不変測度 $
u$ が存在することが保証されます。

$$ (P_t)_{igstar }(
u) =
u ext{ for all } t > 0 $$

応用と意義

この定理は、特に物理学や確率論、さらには計算機科学におけるさまざまな応用があります。例えば、統計力学や乱流の研究において、複雑な動力学系がどのようにして安定した振る舞いをするのかを理解するのに役立ちます。不変測度は、長期的な挙動の解析において非常に重要です。

参考文献

• - Ya. G. Sinai (Ed.), 1997: Dynamical Systems II. Ergodic Theory with Applications to Dynamical Systems and Statistical Mechanics. Springer-Verlag.
• - G. Da Prato and J. Zabczyk, 1996: Ergodicity for Infinite Dimensional Systems. Cambridge University Press.

このように、クリロフ＝ボゴリューボフの定理は、数学的な枠組みを超えてさまざまな分野で広く利用されている重要な理論です。

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