半群

半群の概要

半群とは、集合 S とその上に定義された結合的二項演算からなる代数的構造のことを指します。言い換えれば、半群は演算が結合的である一種のマグマの一形態です。名称は「群」に由来していますが、半群は群とは異なり、必ずしも単位元や逆元を持つわけではありません。演算は通常、乗法的に表現され、元の組み合わせは一般に xy または x • y という形で書かれます。

半群の定義

半群 (S, •) は、集合 S に対して演算 •: S × S → S が結合律を満たすときに定義されます。具体的には、任意の元 a, b, c ∈ S に対して、次の等式が成り立つ必要があります。

(a • b) • c = a • (b • c)

このことから、台集合 S の元が集まった集合の構造が半群を形成します。

半群のタイプ

台集合が有限である半群は「有限半群」と呼ばれ、無限である場合は「無限半群」と呼ばれます。これにより、半群の分類が行われ、それぞれ特有の性質を持っています。

半群の具体例

1. 空半群: 空集合には空写像という演算があり、半群を形成します。
2. 一元半群: 一元集合 {a} において、aa = a が定義されると、一つだけの元から成る半群となります。
3. 二元半群: 台集合が2つの元からなる場合は、同型を除いて5種類の異なる半群が存在します。
4. 加法に関する正の整数の集合 N: 加法の演算の下で半群を形成します。この他にも、非負正方行列の全体や文字列の連接に関する半群も存在します。

半群の基本的概念

半群には単位元と零元の概念があります。単位元は、上記のように半群のいかなる元に対してもその元を保つような元であり、単位的半群あるいはモノイドと呼ばれます。一方、零元はその元との演算によって他の元を吸収する元です。任意の半群は高々一つの単位元を持つことができます。

半群の部分構造

部分半群、左イデアル、右イデアル、両側イデアルといった概念も半群を理解する上で重要です。部分半群は、元の部分集合が自身の演算について閉じているものです。

半群の準同型と合同

半群の準同型は、半群の構造を保つ写像であり、等式 f(ab) = f(a)f(b) が成り立つ時に呼ばれます。同型は全単射の準同型として定義され、半群合同は演算が両立する同値関係を指します。

半群の応用

半群の理論は主に20世紀に入ってから本格的に研究され、応用数学や計算機科学など、多くの分野において重要な役割を果たしています。特に、偏微分方程式や確率論においては、半群が重要なモデルとなっています。

歴史的背景

半群は数学の中でも比較的新しい研究分野であり、1904年にフランス語の文献でその用語が初めて登場しました。以降、具体的な結果を得るための研究が進み、Anton Suschkewitschやその他の数学者によって、その構造と性質が探求されてきました。1970年代には、半群全般を扱う雑誌も創刊され、最近では特定の半群のクラスに焦点を当てた研究が進むなど、さらなる発展が見られます。

結論

半群はその独特の特性から多くの理論的および実用的な側面を持ち、数学の多くの領域に広がりを見せています。特にその結合的性質は、複雑な構造を持つ他の数学的対象との関連性を考える上で非常に有用です。

もう一度検索