グリーン関数

グリーン関数：微分方程式の解法と物理学への応用

グリーン関数とは、微分方程式、特に偏微分方程式を解くための手法であるグリーン関数法において用いられる関数です。19世紀のイギリス人数学者ジョージ・グリーンによって考案されたこの関数は、物理学、数学、工学など様々な分野で幅広く活用されています。物理学においては、グリーン関数はプロパゲーター（伝播関数）とも呼ばれ、量子力学や場の量子論といった分野で重要な役割を果たします。

グリーン関数の定義

グリーン関数の定義を理解するために、まず以下の偏微分方程式の境界値問題を考えます。

$\mathrm {L} y(x) = -f(x), \quad x \in \Omega$

$\y(x) = \bar{y_1}, \quad x \in \Gamma_1$

$\\frac{\partial y(x)}{\partial n} = \bar{y_2}, \quad x \in \Gamma_2$

ここで、Lは微分作用素、Ωは領域、Γは領域の境界を表します。Γは、境界条件$\bar{y_1}$が与えられる$\Gamma_1$と、法線方向微分$\frac{\partial y}{\partial n}$が$\bar{y_2}$で与えられる$\Gamma_2$からなり、$\Gamma_1 \cup \Gamma_2 = \Gamma$、$\Gamma_1 \cap \Gamma_2 = \phi$ を満たします。nは境界における外向き法線方向ベクトルです。

この問題に対するグリーン関数$G(x, x')$は、以下の条件を満たす関数として定義されます。

$\mathrm {L} G(x, x') = -\delta(x - x'), \quad x \in \Omega$

$\G(x, x') = 0, \quad x \in \Gamma_1$

$\\frac{\partial G(x, x')}{\partial n} = 0, \quad x \in \Gamma_2$

ここで、x'はソース点の位置を表し、$\delta(x - x')$はディラックのデルタ関数です。無限領域におけるグリーン関数は基本解と呼ばれます。複雑な境界を持つ領域では、グリーン関数を解析的に求めることは非常に困難です。

物理学におけるグリーン関数の役割

物理学において、グリーン関数は2つの重要な役割を持っています。

1. 境界値問題の解法: グリーン関数は、微分方程式の境界値問題に対する主要解を与えます。全ての境界条件・初期条件を満たす解を求める代わりに、まず点源問題の解としてグリーン関数を導出し、重ね合わせの原理を用いて、元の微分方程式の解をグリーン関数を用いて表現します。

2. 相関関数の表現: ある物理系を構成する個々の状態間の相関関数を与える関数として使われます。位置や時間などの変数によって指定されたある状態から他の状態への伝達の特性を表し、プロパゲーターとして理解することができます。

ポアソン方程式の例

電磁気学におけるポアソン方程式

$\Delta \varphi(r) = -\rho(r)$

の解$\varphi(r)$を求めることを考えます。この方程式は、グリーン関数を用いた積分方程式

$\varphi(r) = \int G(r, r')\rho(r') dr'$

として解くことができます。この式をポアソン方程式に代入すると、グリーン関数が満たすべき方程式

$\Delta G(r, r') = -\delta(r - r')$

が得られます。フーリエ変換と逆フーリエ変換を用いることで、グリーン関数は

$\G(r, r') = \frac{1}{4\pi|r - r'|} $

と求まります。これは、位置r'の点電荷が位置rに作る静電ポテンシャルを表しており、これを電荷分布$\rho(r)$にわたって重ね合わせることで、電荷分布$\rho(r)$の作る静電ポテンシャル$\varphi(r)$が得られます。

グリーン演算子と形式論

微分演算子を線形演算子Lと見なすと、微分方程式Lφ = -ρの解は、逆演算子L⁻¹を用いてφ = -L⁻¹ρと表すことができます。このL⁻¹をグリーン演算子といい、その行列要素がグリーン関数となります。グリーン関数を抽象的な演算子として扱うことで、複雑な関係式を簡潔に記述し、一般的な性質の議論を容易に行うことができます。

シュレーディンガー方程式、摂動論、場の量子論への応用

シュレーディンガー方程式や散乱理論、摂動論においても、グリーン関数は重要な役割を果たします。場の量子論や物性論では、シュレーディンガー方程式に対するグリーン関数ではなく、場の演算子の方程式に関連したグリーン関数が用いられます。相互作用がない場合は、クライン-ゴルドン方程式など、既知の方程式と同形となり、グリーン関数も同様に扱われます。しかし、相互作用が存在する場合は方程式が非線形となり、古典的なグリーン関数の理論との対応が失われます。

参考文献

(参考文献リストは省略)

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