積分方程式

積分方程式とは

積分方程式は、数学において、未知の関数が積分記号の中に現れる方程式のことを指します。微分[[方程式]]と密接な関係があり、問題を定式化する上でどちらを用いることも可能です。

積分方程式の種類

積分方程式は、以下の3つの観点から分類できます。

1. 積分の範囲:
フレドホルム積分方程式: 積分の上下限が固定されているもの
ヴォルテラ積分方程式: 積分の上下限の少なくとも一方が変数であるもの

2. 未知関数の現れ方:
第一種積分方程式: 未知関数が積分の中にのみ現れるもの
第二種積分方程式: 未知関数が積分の中と外の両方に現れるもの

3. 既知関数の有無:
同次積分方程式: 既知関数 f が恒等的に 0 であるもの
非同次積分方程式: 既知関数 f が 0 でないもの

これらの分類を組み合わせることで、様々な種類の積分方程式が存在します。代表的なものとして、以下の4つが挙げられます。

第一種フレドホルム積分方程式:
\[
f(x) = \int_{a}^{b} K(x,t) \phi(t) dt
\]
第二種フレドホルム積分方程式:
\[
\phi(x) = f(x) + \lambda \int_{a}^{b} K(x,t) \phi(t) dt
\]
第一種ヴォルテラ積分方程式:
\[
f(x) = \int_{a}^{x} K(x,t) \phi(t) dt
\]
第二種ヴォルテラ積分方程式:
\[
\phi(x) = f(x) + \lambda \int_{a}^{x} K(x,t) \phi(t) dt
\]

ここで、

$\phi(x)$ は未知関数
$f(x)$ は既知関数
$K(x, t)$ は積分核と呼ばれる既知の2変数関数
$\lambda$ は未知の係数

を表します。

積分方程式の応用

積分方程式は、物理学、工学など様々な分野に応用されています。

放射エネルギー変換
弦、膜、棒の振動

これらの問題は、微分[[方程式]]によって解かれることもありますが、積分方程式を用いることでより自然に定式化できる場合があります。

固有値問題との関連

ある種の同次線形積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができます。行列における固有値問題

\[
\sum_{j} M_{i,j} v_{j} = \lambda v_{i}
\]

において、添え字 i, j を連続変数 x, y に置き換えることで、積分方程式

\[
\int dy K(x,y) \varphi(y) = \lambda \varphi(x)
\]

が得られます。この関係から、積分方程式は固有値問題の一般化と捉えることができます。

非線型積分方程式

上記の例は線形積分方程式ですが、非線型積分方程式も存在します。非線型積分方程式は、線形積分方程式よりも複雑な振る舞いを示すことがあり、より高度な解析が必要となります。

積分方程式の数値解析

積分方程式を解析的に解くことが難しい場合、数値解析的な手法が用いられます。数値積分、近似関数などを用いて、積分方程式の近似解を求めることができます。

関連項目

ヒルベルト空間
フレドホルム積分方程式
ヴォルテラ積分方程式

外部リンク

積分方程式の解き方 - 高校数学の美しい物語

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