グロタンディーク宇宙

グロタンディーク宇宙

グロタンディーク宇宙とは、アレクサンドル・グロタンディークによって提唱された特殊なセットのクラスで、特定の性質を持つことで知られています。この宇宙の概念は、代数幾何学の文脈において真のクラスを避けるための手段として導入されました。具体的には、グロタンディーク宇宙は一連の特性を満たす集合 U によって構成され、以下のようなルールが適用されます。

1. 推移性: もし x が U に含まれ、かつ y が x に含まれるなら、y も U に属します。
2. ペア形成: U の任意の二つの集合 x と y は、ペア {x, y} として U に存在します。
3. ベキ集合: 任意のxが U に含まれる場合、そのベキ集合 P(x) もまた U に含まれます。
4. 和集合: I が U に属する任意のインデックスの集合に対して、{xα} (α ∈ I) が U の元である場合、その和集合も U に含まれます。

これらの性質により、グロタンディーク宇宙は集合論のモデルとして非常に重要な役割を果たすことになります。

グロタンディーク宇宙の性質

例えば、次の証明によっていくつかの簡単な命題の正しさが確認できます。

命題

もし x が U に含まれ、y が x の部分集合であるなら、y も U に含まれる。

証明

この場合、y は x のベキ集合 P(x) に存在します。そして、x が U の元であるため、P(x) も U に含まれます。したがって、y も U に含まれることが示されます。

加えて、グロタンディーク宇宙 U には以下のようなものが含まれています:

• - U の各元に対するすべてのシングルトン
• - U の元でインデックス付けされたすべての U の元のファミリーに関する積
• - U の元でインデックス付けされたすべての U の元のファミリーに関する直和
• - U の元でインデックス付けされたファミリーに関する共通集合
• - U の二つの元間のすべての関数
• - 濃度が U の元となるすべての部分集合

到達不能基数との関係

グロタンディーク宇宙は、到達不能基数と密接に関連しています。まず、グロタンディーク宇宙には二つの基本的な例があります:
1. 空集合
2. すべての遺伝的有限集合の集合 Vω

さらに、任意のグロタンディーク宇宙は、ある基数に対して u(κ) の形式を持ちます。これは、集合の濃度が自然数のサイズを超える強到達不能基数であることを示すものです。特に、グロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間には以下の同値性があります:

• - グロタンディーク宇宙 U に対して、|U| が零、ℵ₀、または強到達不能基数のいずれかである。
• - 逆に、κ がこれらの値のいずれかならば、グロタンディーク宇宙 u(κ) が存在します。

これにより、グロタンディーク宇宙の存在確認は、自明ではない至難の業であり、ZFC（ツェルメロ・フレンケル公理）からは証明できないことが知られています。要するに、U と強到達不能基数の組が、生物学的にも独自の宇宙の性質を形成します。

参考文献

このトピックに関する詳しい情報は、Nicolas Bourbaki の著作「Univers」などを参照することが有益です。数学と集合論の基礎であるグロタンディーク宇宙やその関連項目について学ぶ際には、これらの文献が有用でしょう。

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