集合

集合論入門

集合とは何か？

数学における集合とは、いくつかの「もの」が集まった「集まり」のことです。これらの「もの」は集合の元(要素)と呼ばれ、数はもちろん、文字、記号、さらには別の集合でさえも元となり得ます。ただし、どんな集まりも集合とは限りません。集合と呼ぶためには、ある対象がその集合の元であるかどうかが明確に決定できる必要があります。

例えば、トランプのスペード、ハート、ダイヤ、クラブのスート全体や、AからKまでの数字の集合は、どちらも集合の良い例です。さらに、これらの集合を組み合わせた52枚のトランプカード全体の集合も、集合として考えることができます。

集合は通常、大文字の英文字（A、B、C…）で表し、その元は小文字の英文字（a、b、c…）で表すことが多いです。

帰属関係と包含関係

集合と元、あるいは集合同士には、いくつかの関係が考えられます。

帰属関係: 元 `a` が集合 `A` に含まれる場合、`a ∈ A` と表記します。
包含関係: 集合 `A` のすべての元が集合 `B` に含まれる場合、`A ⊂ B` （または `A ⊆ B`）と表記し、`A` は `B` の部分集合であると言います。`A ⊂ B` は `A ⊆ B` かつ `A ≠ B` を意味します。

帰属関係と包含関係は明確に区別する必要があります。`X ⊂ Y ⊂ Z` ならば `X ⊂ Z` が成り立ちますが、`X ∈ Y ∈ Z` から `X ∈ Z` が成り立つとは限りません。

集合の記法

集合を表す記法には、主に2種類があります。

1. 外延的記法: 集合のすべての元を列挙する方法です。例えば、{1, 3, 5, 7, 9} は1から9までの奇[[数]]の集合を表します。
2. 内包的記法: 集合の元が満たすべき条件を記述する方法です。例えば、{x | x は10未満の正の奇[[数]]} も上記の集合と同じものを表します。一般的に、条件 P(x) を満たすすべての x の集合は {x | P(x)} と表記されます。この記法は、集合の要素をすべて列挙できない場合に特に有用です。例えば、自然数全体の集合は {0, 1, 2, 3, …} のように表記されますが、"..." は省略を表し、文脈によっては曖昧さを含む可能性があります。

外延性の公理

2つの集合 A と B が、すべての集合 X について「X ∈ A と X ∈ B が同値」である場合、A と B は等しいとされます。これは、集合をその要素によって完全に決定できることを意味しています。例えば、{1, 3, 5, 7, 9} と {x | x は10未満の正の奇[[数]]} は異なる表記ですが、同じ集合を表しています。

特殊な集合

空集合: 元を持たない集合を空集合といい、∅ で表します。空集合は任意の集合の部分集合です。
数体系の集合: 自然数全体の集合 (ℕ), 整数全体の集合 (ℤ), 有理数全体の集合 (ℚ), 実[[数]]全体の集合 (ℝ), 複素数全体の集合 (ℂ), 四元[[数]]全体の集合 (ℍ) など、数学では様々な数体系に対応する集合が定義されています。

集合の濃度

集合の元の個数を濃度といいます。有限集合の濃度は元の個数そのものです。無限集合に対しても、濃度の概念を用いて、異なる無限の大きさを区別することができます。例えば、自然数の集合と有理数の集合は同じ濃度を持ちますが、自然数の集合と実[[数]]の集合は異なる濃度を持ちます。

集合の演算

複数の集合に対して、新しい集合を作るための演算が定義されています。

和集合 (∪): 2つの集合の元のすべてを含む集合
共通部分 (∩): 2つの集合に共通して含まれる元の集合
差集合 (∖): 集合 A から集合 B に含まれる元を除いた集合
補集合 (∁): 全体集合からある集合を除いた集合
対称差 (△): 2つの集合の和集合から共通部分を除いた集合
冪集合 (P): ある集合の部分集合全体の集合
直積集合 (×): 2つの集合からそれぞれ1つの元を取り出して順序対を作ることで得られる集合
直和集合: 交わりのない2つの集合の和集合

これらの演算を用いることで、集合から新たな集合を構成し、数学的な議論を進めることができます。

集合族

集合の集まりを集合族といいます。集合族が特定の性質を満たす場合、それぞれ特別な名前が付けられています。例えば、和集合と共通部分について閉じている集合族は集合環と呼ばれます。他にも、加法族、完全加法族、σ-集合体、π-系、ディンキン族など、様々な種類の集合族が存在します。これらの集合族は、測度論や確率論などの分野で重要な役割を果たします。

この入門記事では集合論の基本的な概念を解説しました。より高度なトピックについては、専門書を参照してください。

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