コンパクト一様収束

コンパクト収束：一様収束の一般化

数学において、コンパクト収束（コンパクト一様収束、広義一様収束とも呼ばれる）は、関数列の収束性を記述する重要な概念です。これは、一様収束というより限定的な収束の概念を一般化したもので、定義域全体ではなく、コンパクト集合上での一様収束という条件を用います。

コンパクト収束の定義

位相空間 (X, T) と距離空間 (Y, dY) を考えます。関数列 fn: X → Y (n ∈ ℕ) が、n → ∞ のとき関数 f: X → Y にコンパクト収束するとは、X の任意のコンパクト部分集合 K ⊂ X に対して、関数列の制限 fn|K が、n → ∞ のとき f|K に K 上で一様収束することを意味します。

より具体的には、任意のコンパクト集合 K ⊂ X と任意の正の実数 ε > 0 に対して、ある自然数 N が存在し、n ≥ N を満たすすべての n について、K 上のすべての x に対して dY(fn(x), f(x)) < ε が成り立つということです。これは、次の式で表すこともできます。

lim (n→∞) sup(x∈K) dY(fn(x), f(x)) = 0

コンパクト収束の例

X = (0, 1) ⊂ ℝ, Y = ℝ とし、関数列 fn(x) = xn を考えます。この関数列は、n → ∞ のとき定数関数 0 にコンパクト収束しますが、一様収束はしません。なぜなら、x が 1 に近づくにつれて、fn(x) は 0 に近づかず、収束の速さが x の値に依存するためです。

一方、X = (0, 1], Y = ℝ とし、関数列 fn(x) = xn を考えると、これは (0, 1) 上では 0、x = 1 では 1 を取る関数に各点収束しますが、コンパクト収束しません。なぜなら、区間 [1/2, 1] といったコンパクト集合上では一様収束しないからです。

アスコリ・アルツェラの定理

コンパクト収束を示す上で、アスコリ・アルツェラの定理は非常に強力なツールです。この定理は、いくつかのバージョンがありますが、大まかに言えば、同程度連続かつ一様有界な関数列は、連続関数にコンパクト収束する部分列を持つ、というものです。これは、関数列の収束性を調べる際に非常に役立ちます。

コンパクト収束の性質

コンパクト収束と他の収束の概念との関係は以下のようにまとめられます。

一様収束ならば、コンパクト収束する。
コンパクト空間上でのコンパクト収束は、一様収束と同値。
局所コンパクト空間上では、コンパクト収束と局所一様収束は同値。
コンパクト生成空間上でコンパクト収束し、各 fn が連続ならば、f も連続。

まとめ

コンパクト収束は、一様収束よりも広い範囲の関数列の収束性を扱うことができる、強力な概念です。アスコリ・アルツェラの定理など、強力な定理との関連性も高く、関数解析において重要な役割を果たしています。 特に、無限次元空間における関数解析において、その有用性が顕著になります。コンパクト収束の理解は、関数解析のより深い理解に繋がります。

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