コンパクト空間

位相空間におけるコンパクト性

位相空間がコンパクトであるとは、その空間が「性質が良い」とされる特別な状態を指します。これは、ユークリッド空間 \( \mathbb{R}^n \) における有界閉集合の性質を抽象化した概念です。

コンパクト性の動機

ユークリッド空間 \( \mathbb{R}^n \) の有界閉集合 \( X \) は、位相空間として以下の様な「性質が良い」特徴を持ちます。

\( X \) から実数 \( \mathbb{R} \) への連続写像は必ず最大値と最小値を持ちます。
\( X \) から実数 \( \mathbb{R} \) への連続写像は必ず一様連続です。
\( X \) から \( \mathbb{R}^n \) への単射連続写像 \( f \) が存在する場合、その逆写像 \( f^{-1} \) も連続です。

コンパクト性の概念は、これらの「性質が良い」空間を一般の位相空間に拡張したものです。ただし、\( \mathbb{R}^n \) の有界閉集合という概念は、距離に依存しているため、一般の位相空間では直接適用できません。そこで、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とハイネ・ボレルの被覆定理を用いて、コンパクト性を定義します。

これらの定理は、\( \mathbb{R}^n \) の有界閉集合に対して成り立つ定理ですが、逆も成立することが知られており、\( \mathbb{R}^n \) においては以下の3つの性質が同値になります。

1. 有界閉集合であること
2. ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分を満たすこと
3. ハイネ・ボレルの定理の結論部分を満たすこと

これらの性質は位相構造のみを用いて記述できるため、2または3のいずれか（実際には両方）を満たすことをもってコンパクト性と定義します。

コンパクト性の定義

コンパクト性は、以下の同値な2つの性質のいずれか（したがって両方）を満たすことによって定義されます。

1. ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性による定義

この性質は、有向点族に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラス性と呼ばれ、\( \mathbb{R}^n \) の有界閉集合に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理を拡張したものです。有向点族とは、点列の概念を一般化したもので、その極限が発散しないことを意味します。コンパクトな空間では、有向点族が空間の外に発散することはないため、必ず収束するか振動します。厳密には、任意の有向点族が収束する部分列を持つことをもってコンパクト性を定義します。

コンパクトな空間は「外に発散する有向点族がない」という意味で、閉集合よりもさらに「閉じた」空間と言えます。実際、ハウスドルフ空間では、コンパクトな部分集合は必ず閉集合になります。そのため、コンパクトな多様体は「閉多様体」と呼ばれることがあります。

2. ハイネ・ボレル性による定義

コンパクト性を特徴づけるもう一つの性質はハイネ・ボレル性です。これは \( \mathbb{R}^n \) の有界閉集合に対するハイネ・ボレルの被覆定理に対応する性質です。ハイネ・ボレル性は抽象的な概念ですが、コンパクトな空間に対する定理を証明する際に、無限に伴う困難さを回避するために利用されます。学部レベルの教科書では、ハイネ・ボレル性をコンパクト性の定義として採用しているものが多いです。

距離空間におけるコンパクト性

距離空間 \( X \) では、上記の2つとは異なる観点からコンパクト性を特徴づけることができます。距離空間 \( X \) がコンパクトであるための必要十分条件は、\( X \) が全有界かつ完備であることです。ここで、全有界性とは有界性を強めた条件で、任意の \( \epsilon > 0 \) に対して \( X \) が有限個の \( \epsilon \)-球の和集合で書けることを意味します。完備性とは、\( X \) 上のコーシー列が必ず収束することを意味します。

距離空間では、コンパクト性は点列コンパクト性とも同値になります。これは、ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性が点列に対して成り立つことを意味します。一般に、点列コンパクト性はコンパクト性よりも弱い概念ですが、距離空間においては同値になります。

ベクトル空間におけるコンパクト性

実数 \( \mathbb{R} \) または複素数 \( \mathbb{C} \) 上の有限次元ベクトル空間（または有限次元の完備リーマン多様体）において、部分集合 \( X \) がコンパクトであるための必要十分条件は、\( X \) が有界閉集合であることです。一方、無限次元ベクトル空間では、有界閉集合であってもコンパクトにならない場合があります。これは、無限次元ベクトル空間では全有界でない有界閉集合が存在するためです。

また、ノルム空間 \( V \) において、閉単位球がコンパクトであるための必要十分条件は、\( V \) が有限次元であることです（リースの補題から導かれます）。ただし、これは \( V \) にノルムから定まる位相を入れた場合の話であり、それ以外の位相を入れた場合はこの限りではありません。例えば、双対空間 \( V^ \) に \( \)-弱位相を入れた場合、\( V^ \) の閉単位球は（\( V^ \) が無限次元であっても）コンパクトになります（バナッハ・アラオグルの定理）。

ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクト性の定義の詳細

有向点族

ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性の定義には、有向点族の概念が必要です。有向点族とは、有向集合を添え字とする族のことです。有向集合とは、反射律と推移律を満たす二項関係を持つ集合で、必ずしも反対称律を満たす必要はありません。点列と同様に、有向点族に対して収束や部分有向点族の概念を定義できます。

有向点族の概念は、点列概念とは異なり、添え字が可算である必要も、全順序である必要もありません。これにより、有向点族は点列にはない利点を持つようになり、例えば、有向点族の収束概念を用いれば、閉集合などの位相空間の諸概念を特徴づけることができます。点列の場合は、添え字が可算であるため、位相空間にも可算性を要求する必要があります。

コンパクト性の定義

位相空間 \( X \) がコンパクトであるとは、\( X \) 内の任意の有向点族が、\( X \) 内に収束する部分有向点族を持つことを言います。

この定義は、\( \mathbb{R}^n \) 上の有界閉集合に関するボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理を、有向点族に自然に拡張したものです。

なお、コンパクト性の定義において、有向点族ではなく点列に対してのみ収束部分列を要求したものを点列コンパクト性と呼びますが、点列コンパクト性は距離空間ではコンパクト性と同値です。

ハイネ・ボレル性によるコンパクト性の定義の詳細

開被覆

ハイネ・ボレル性によるコンパクト性の定義には、開被覆の概念が必要です。位相空間 \( X \) の開被覆とは、\( X \) を覆う開集合の集まりのことです。

コンパクト性の定義

位相空間 \( X \) がコンパクトであるとは、\( X \) の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを言います。ここで有限部分被覆とは、元の開被覆の部分集合で、なおかつ \( X \) を覆うもののことです。

ハイネ・ボレルの定理

\( \mathbb{R}^n \) におけるハイネ・ボレルの定理は、\( \mathbb{R}^n \) の有界閉集合の任意の開被覆が、有限部分被覆を持つと述べています。実は逆も成り立つことが知られており、\( \mathbb{R}^n \) ではコンパクトであることと有界閉集合であることは同値です。

有限交差性

ハイネ・ボレル性の定義における開集合を閉集合に置き換えて考えると、コンパクト性は以下のようにも特徴づけられます。これは、区間縮小法の一般化とみなすことができ、位相空間における存在証明において重要な役割を果たします。

位相空間 \( X \) がコンパクトであるための必要十分条件は、\( X \) 内の閉集合の任意の族において、有限個の閉集合の共通部分が空でないならば、すべての閉集合の共通部分が空でないことである。

利用例

ハイネ・ボレル性は、ある性質が空間の各点で局所的に示されているときに、その性質を空間全体に拡張する際に用いられます。例えば、コンパクト空間上の連続関数が一様連続であることを証明する際に利用されます。

コンパクト性の他の特徴付け

コンパクト性は、有向点族の他に、フィルターや超フィルターといった概念を用いて特徴づけることもできます。

コンパクトな空間の性質

コンパクトな位相空間の部分集合が閉集合ならば、その部分集合はコンパクトです。
ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は必ず閉集合です。
コンパクトなハウスドルフ空間では、部分集合が閉集合であることとコンパクトであることは同値です。
コンパクト空間から位相空間への連続写像の像はコンパクト集合です。
コンパクト空間の直積はコンパクトです（チコノフの定理）。
コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続な全単射写像は同相写像です。
コンパクト空間から実数体への連続関数は一様連続です。
コンパクトなハウスドルフ空間は正規空間です。

距離空間におけるコンパクト性

距離空間 \( X \) においては、コンパクト性と以下の性質が同値になります。

\( X \) は全有界かつ完備である。
\( X \) は点列コンパクトである。

全有界性

距離空間 \( X \) が全有界であるとは、任意の \( \epsilon > 0 \) に対して、\( X \) が有限個の半径 \( \epsilon \) の開球で覆われることを言います。

完備性

距離空間 \( X \) が完備であるとは、\( X \) 上の任意のコーシー列が収束することを言います。

点列コンパクト性

位相空間が点列コンパクトであるとは、任意の点列が収束する部分列を持つことを言います。

有限次元ベクトル空間におけるコンパクト性

有限次元ユークリッド空間または完備リーマン多様体の部分集合に対しては、有界性と全有界性が同値であり、完備性と閉集合であることが同値です。したがって、有限次元ベクトル空間のコンパクト部分集合は、有界閉集合と同値になります。

一様空間への一般化

コンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になることは、距離空間よりも一般的な一様空間でも成立します。

コンパクト性と擬距離化可能性

擬距離化可能な空間において、コンパクト性と点列コンパクト性、可算コンパクト性は同値になります。

無限次元空間におけるコンパクト性

無限次元空間では、コンパクト性は有界閉集合とは一般に同値になりません。これは、無限次元空間では全有界でない有界閉集合が存在するためです。

無限次元ベクトル空間

ノルム空間では、閉単位球がコンパクトであるための必要十分条件は、空間が有限次元であることです。
双対空間 \( V^ \) に \( \)-弱位相を入れた場合、\( V^ \) の閉単位球はコンパクトになります（バナッハ・アラオグルの定理）。

コンパクト空間の直積

位相空間の直積には、直積位相と箱型積位相の2種類の位相を入れることができます。コンパクト空間の無限個の直積には、直積位相を入れた場合はコンパクトになります（チコノフの定理）。しかし、箱型積位相を入れた場合は、一般にはコンパクトとは限りません。

コンパクト化

位相空間 \( X \) のコンパクト化とは、\( X \) をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指します。コンパクトでない空間に1点を付け加えるだけでコンパクト化する方法(アレクサンドロフの一点コンパクト化)などがあります。

関連概念

可算コンパクト：任意の可算開被覆が有限部分被覆を持つ空間。
点列コンパクト：任意の点列が収束する部分列を持つ空間。
擬コンパクト：任意の連続実数値関数が有界な空間。
局所コンパクト：各点がコンパクトな近傍を持つ空間。
\( \sigma \)-コンパクト：コンパクト集合の可算和で表せる空間。
リンデレーフ：任意の開被覆が可算部分被覆を持つ空間。
パラコンパクト：任意の開被覆が局所有限な細分を持つ空間。
メタコンパクト：任意の開被覆が点有限な細分を持つ空間。

これらの概念の間には、以下のような関係性が成り立ちます。

コンパクト \( \Rightarrow \) 可算コンパクト
コンパクト \( \Rightarrow \) 点列コンパクト
コンパクト \( \Rightarrow \) 擬コンパクト
コンパクト \( \Rightarrow \) 局所コンパクト
コンパクト \( \Rightarrow \) \( \sigma \)-コンパクト
コンパクト \( \Rightarrow \) リンデレーフ
コンパクト \( \Rightarrow \) パラコンパクト
コンパクト \( \Rightarrow \) メタコンパクト

擬距離化可能な空間では、コンパクト性、点列コンパクト性、可算コンパクト性は同値です。

パラコンパクト性

パラコンパクト空間とは、任意の開被覆が局所有限な細分を持つ空間です。パラコンパクトな空間は、正規空間であることが知られています。パラコンパクトな空間では、開被覆に従属する1の分割の存在が保証されます。

1の分割の定義:
位相空間 \( X \) 上の実数値関数 \( f \) の族 \( \{f_{\alpha}\} \)_{\alpha \in A} \) が以下の条件を満たすとき、開被覆 \( \{U_{\alpha}\} \)_{\alpha \in A} \) に従属する1の分割であるという。

1. 各 \( \alpha \in A \) に対して、\( f_{\alpha} \) は連続かつ \( 0 \leq f_{\alpha}(x) \leq 1 \) であり、さらに \( f_{\alpha} \) の台 \( supp(f_{\alpha}) \) が \( U_{\alpha} \) に含まれる。
2. 各 \( x \in X \) に対して、\( \{ \alpha \in A \mid f_{\alpha}(x)
eq 0 \} \) は有限集合であり、\( \sum_{\alpha \in A} f_{\alpha}(x) = 1 \) が成り立つ。

パラコンパクトな空間は、開被覆に従属する1の分割で特徴づけられます。

もう一度検索