コーシーの凝集判定法

コーシーの凝集判定法：級数の収束判定を簡略化するテクニック

数学における級数の収束判定は、複雑な計算を伴うことが多く、困難な場合があります。コーシーの凝集判定法は、そのような状況において非常に有効なツールとなります。この判定法は、非負実数からなる非増加数列の級数の収束性を、より簡単に判定できる「凝集級数」を用いて判断します。

定義と基本原理

非増加な非負実数列 \(f(n)\) に対する級数 \(\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\) を考えます。コーシーの凝集判定法によると、この級数が収束するための必要十分条件は、以下の「凝集級数」が収束することです。

\(\sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n)\)

さらに、これらの級数が収束する場合、「凝集級数」の収束値は元の級数の収束値の2倍以下になります。

証明

コーシーの凝集判定法の証明は、元の級数を2のべき乗個ずつの項に分割し、数列の非増加性を用いて評価することで行われます。

まず、元の級数を次のように書き換えます。

\(\sum_{n=1}^{\infty} f(n) = f(1) + (f(2) + f(3)) + (f(4) + f(5) + f(6) + f(7)) + \dots\)

非増加性より、各括弧内の項は最大値をとる最初の項で上から抑えられます。

\(\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \le f(1) + 2f(2) + 4f(4) + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n)\)

これが最初の不等式です。

次に、凝集級数を次のようにも分割します。

\(\sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n) = f(1) + (f(2) + f(2)) + (f(4) + f(4) + f(4) + f(4)) + \dots\)

そして、括弧内の項を元の級数の項で上から評価します。

\(\sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n) \le 2(f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + \dots) = 2\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\)

以上より、不等式

\(\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \le \sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n) \le 2\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\)

が成立することが示せ、コーシーの凝集判定法が証明されます。

積分との関係

コーシーの凝集判定法は、積分判定法とも密接に関係しています。単調関数 \(f(x)\) に対して、級数 \(\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\) の収束と積分 \(\int_{1}^{\infty} f(x)dx\) の収束は同値です。変数変換 \(x \to 2^x\) を行うことで、この積分は凝集級数の収束と関連づけられます。

例

コーシーの凝集判定法は、調和級数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) の発散性の証明など、様々な級数の収束判定に利用できます。また、より複雑な級数、例えば一般化されたベルヌーイ級数に対しても有効です。

シュレミルヒによる一般化

コーシーの凝集判定法は、シュレミルヒによってさらに一般化されています。これは、\(u(n)\) を特定の条件を満たす数列とした場合にも適用できる判定法です。

まとめ

コーシーの凝集判定法は、級数の収束性を判定するための強力なツールであり、多くの応用例を持ちます。その証明は、数列の非増加性と巧妙な分割手法に基づいており、積分判定法とも関連しています。シュレミルヒによる一般化は、この判定法の適用範囲をさらに広げています。

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