積分判定法

積分判定法：無限級数の収束性を判定する強力なツール

積分判定法は、無限級数の収束性、つまり級数の和が有限の値に収束するかどうかを判定する手法です。特に、非負項無限級数の収束性を調べる際に有効です。この方法は、数学者コーシーとマクローリンによって発展され、マクローリン・コーシーの判定法としても知られています。

判定方法

積分判定法では、以下の手順で無限級数の収束性を調べます。まず、整数Nと、区間[N, ∞)で定義された単調非増加な実数値関数f(x)を考えます。このとき、無限級数

∑_(n=N)^∞ f(n)

の収束性を判定するために、対応する広義積分

∫_(N)^∞ f(x)dx

を調べます。この積分が有限値に収束する場合、もとの無限級数も収束します。逆に、積分が発散するならば、無限級数も発散します。

証明

積分判定法の証明は、主に比較判定法に基づきます。単調非増加関数f(x)の性質を利用して、積分と級数の項を比較することで、両者の収束性が一致することを示します。

具体的には、区間[n-1, n)と[n, n+1)におけるf(x)の積分値と、f(n)の値を比較します。f(x)の単調性から、以下の不等式が成り立ちます。

∫_(n)^(n+1) f(x)dx ≤ f(n) ≤ ∫_(n-1)^n f(x)dx

これらの不等式を、NからMまでの全てのnについて足し合わせ、Mを無限大に近づけることで、積分と級数の収束性の関係が導き出されます。

適用例

積分判定法は、様々な無限級数の収束性を判定するために利用できます。代表的な例として、調和級数とリーマンゼータ関数を挙げましょう。

調和級数: ∑_(n=1)^∞ (1/n) は発散します。これは、積分∫_1^∞ (1/x)dx が発散することから示せます。

リーマンゼータ関数: ζ(1+ε) = ∑_(n=1)^∞ (1/n^(1+ε)) は、任意のε>0に対して収束します。これは、積分∫_1^∞ (1/x^(1+ε))dxが有限値に収束することから示せます。

発散と収束の境界線

調和級数の例から分かるように、単調減少列f(n)であって、1/nよりも速く0に収束するが、任意のε>0に対して1/n^(1+ε)よりは遅く0に収束するようなものは、級数が発散するか収束するかという問題提起につながります。

この境界線を探索するために、以下の級数を考えます。

∑_(k=1)^∞ 1/(k(lnk)(ln₂k)...(lnk)) ...(4)

∑_(k=1)^∞ 1/(k(lnk)(ln₂k)...(lnk)^(1+ε)) ...(5)

ここで、lnkは[自然対数]]のk重の合成です。[[級数]は発散し、[級数]は任意のε>0に対して収束することが、積分判定法を用いた計算により証明できます。これにより、発散と収束の境界線がより明確になります。

有限和の場合

積分判定法は無限級数だけでなく、有限和に対しても適用できます。区間[M,N]で定義された単調関数f(x)に対し、和と積分の関係は以下のように近似できます。

min{f(M), f(N)} ≤ ∑_(n=M)^N f(n) - ∫_M^N f(x)dx ≤ max{f(M), f(N)}

まとめ

積分判定法は、無限級数の収束性を判定する上で強力なツールです。その証明は比較判定法に基づき、調和級数やリーマンゼータ関数などへの応用を通して、その有用性を確認できます。発散と収束の境界線の考察は、数学の深遠な側面を垣間見せてくれます。

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