システム同定

システム同定：データからシステムの挙動を解き明かす

システム同定とは、観測されたデータから、システム（対象となる物理現象、経済過程、機械など）の動作を記述する数学的モデルを構築する技術です。周囲からの影響（入力）とシステムの反応（出力）の関係を分析することで、システムの内部構造を詳細に知る必要なく、その振る舞いを予測できるモデルを作成します。

モデルの種類

システム同定で用いられるモデルは大きく分けて以下の2種類があります。

ブラックボックスモデル: システムの内部構造が不明な場合に用いられます。入力と出力の関係を直接的にモデル化し、内部メカニズムについては考慮しません。多くのシステム同定アルゴリズムは、このブラックボックスモデルを対象としています。シンプルで適用範囲が広い反面、システムの物理的解釈は困難です。

グレイボックスモデル: システムの内部構造について部分的に情報が分かっている場合に用いられます。既知のモデル構造をベースに、未知のパラメータをデータから推定します。ブラックボックスモデルより、システムの物理的解釈がしやすくなりますが、適切なモデル構造を選択する必要があり、適用範囲はブラックボックスモデルより狭くなります。

例えば、重力による物体の落下運動をモデル化する場合は、ニュートンの運動方程式といった第一原理に基づいたホワイトボックスモデルを構築できます。しかし、複雑なシステム、例えば証券市場の動きをモデル化する場合は、第一原理に基づいたモデル構築は困難です。そのため、市場への投資額などの入力と株価変動などの出力の関係から、ブラックボックスモデルやグレイボックスモデルを構築することになります。

システム同定の手法

システム同定は、時間領域または周波数領域で行われます。

時間領域: システムの入力と出力の時間的な変化を直接的に分析します。離散時間モデルや連続時間モデルなど、様々なモデルが用いられます。
周周波数領域: システムの入力と出力の周波数特性を分析します。周波数応答関数などを用いて、システムの特性を評価します。

システム同定には、様々なアルゴリズムが用いられます。代表的なものとして、最小二乗法、最尤推定法、カルマンフィルタなどがあります。これらのアルゴリズムは、観測データからモデルパラメータを推定するために用いられます。

システム同定の応用例

システム同定は、様々な分野で応用されています。

制御工学: 制御対象のモデルを構築し、最適な制御則を設計する。
経済学: 経済指標間の関係をモデル化し、経済予測を行う。
機械学習: システムの挙動を学習し、予測モデルを構築する。
生物学: 生物の生理機能をモデル化し、薬効評価などを行う。

まとめ

システム同定は、データに基づいてシステムの動的な振る舞いをモデル化するための強力なツールです。ブラックボックスモデルやグレイボックスモデルといった様々な手法を用いて、複雑なシステムの解析や予測が可能になります。その応用範囲は広く、制御工学、経済学、機械学習など様々な分野で活用されています。 Lennart Ljungの著書「System Identification - Theory For the User」は、システム同定に関する詳細な解説を提供する貴重な文献です。

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