シフラー点

シフラー点

シフラー点（Schiffler point）は、平面幾何学における三角形に関連して定義される、固有の性質を持つ特別な点です。この点は、1985年にドイツの数学者クルト・シフラーによって提唱され、その後その存在が証明されて彼の名にちなんで命名されました。

定義

シフラー点は、任意の三角形ABCに対して一意的に定まります。その定義は、三角形の内心Iを用いることに基づいています。三角形ABCの内心をIとします。内心Iは三角形の内部に位置し、三角形の内接円の中心でもあります。

内心Iと元の三角形ABCの各頂点A, B, Cを結ぶことで、3つの小さな三角形、すなわち三角形IAB、三角形IBC、三角形ICAが得られます。

それぞれの小さな三角形（IAB, IBC, ICA）もまた通常の三角形であり、それぞれにオイラー線が存在します。オイラー線とは、三角形の外心、重心、垂心という3つの重要な点が全て通る直線のことです。シフラー点の驚くべき性質は、これら3つの派生した三角形IAB, IBC, ICAそれぞれのオイラー線が、元の三角形ABCのオイラー線上のただ一点で交わるという点にあります。この特別な交点こそが、シフラー点なのです。

存在証明

3つの派生三角形のオイラー線が一点で交わるという性質は、幾何学的に厳密に証明可能です。証明の過程では、元の三角形ABCの主要な特異点（外心O、垂心H、内心Iなど）や、派生三角形の対応する点（例えば、三角形IBCの外心O'や垂心H'など）の関係性が利用されます。

具体的には、これらの点間に成り立つ特定の幾何学的関係や線分の長さの比が、元の三角形ABCの形状によらず一定であるといった性質を示すことによって、3本のオイラー線が必ず一点で交わる、すなわちシフラー点が存在することが証明されます。証明には、複雑な座標計算やベクトル解析、あるいは純粋な幾何学的手法が用いられます。

座標表示

シフラー点の位置は、元の三角形ABCの性質（辺の長さや内角）によって一意に決まります。三角形の3辺の長さをa, b, cとし、頂点A, B, Cにおける内角をそれぞれA, B, Cとするとき、シフラー点の座標は以下のように表されます。

三線座標（Trilinear Coordinates）で表す場合、以下のいずれかの形式となります。

$$ \left[{\frac{1}{\cos B+\cos C}},{\frac{1}{\cos C+\cos A}},{\frac{1}{\cos A+\cos B}}\right] $$

または

$$ \left[{\frac{b+c-a}{b+c}},{\frac{c+a-b}{c+a}},{\frac{a+b-c}{a+b}}\right] $$

重心座標（Barycentric Coordinates）で表す場合、以下のいずれかの形式となります。

$$ \left[{\frac{a}{\cos B+\cos C}},{\frac{b}{\cos C+\cos A}},{\frac{c}{\cos A+\cos B}}\right] $$

または

$$ \left[{\frac{a(b+c-a)}{b+c}},{\frac{b(c+a-b)}{c+a}},{\frac{c(a+b-c)}{a+b}}\right] $$

これらの座標表現は、シフラー点が三角形の特定の幾何学的中心の一つであることを示しています。

歴史的背景

シフラー点は、1985年にクルト・シフラーが数学雑誌「Crux Mathematicorum」に投稿した幾何学の問題（Problem 1018）として初めて世に示されました。この問題は、まさに本項で述べた「内心Iから作られる3つの三角形のオイラー線が一点で交わること」を証明するよう求めるものでした。

翌1986年には、オランダの数学者G.R.フェルトカンプとW.A.ファン・デル・スペクによって、この問題に対する解答（すなわち証明）が与えられ、その解答論文の中で、この特別な交点がクルト・シフラーに敬意を表して「シフラー点」と正式に命名されました。

オイラー線上の点の性質や、複数のオイラー線が一点で交わる条件に関する研究は、シフラー点の発見より以前から行われていました。特に、20世紀初頭にはフランク・モーリーらが、特定の条件下で4本のオイラー線が一点で交わることを示唆しており、シフラー点の研究は、このような古典的な三角形幾何学の探求の現代における成果と言えるでしょう。

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