垂心

垂心（すいしん）とは

初等幾何学において、垂心（英語: orthocenter）は、三角形の各頂点からその対辺（またはその延長線）に向かって引いた三本の垂線が交わるただ一つの点を指します。この点は、三角形の性質を理解する上で非常に重要な役割を果たします。

三角形の三つの頂点をそれぞれA、B、Cとし、頂点Aから対辺BCに下ろした垂線をAH_a、頂点Bから対辺CAに下ろした垂線をBH_b、頂点Cから対辺ABに下ろした垂線をCH_cとします。これらの垂線AH_a、BH_b、CH_cは必ず一点で交わり、その交点をHと表記します。この点Hこそが垂心です。

垂心の位置

垂心が三角形の内部にあるか外部にあるか、あるいは辺上にあるかは、三角形の形状によって決まります。

鋭角三角形: 垂心は三角形の内部に位置します。
直角三角形: 垂心は直角をなす頂点そのものに一致します。
鈍角三角形: 垂心は三角形の外部に位置します。

垂心と他の中心との関係

垂心は、三角形における他の重要な点、特に重心や外心と密接な関係を持っています。

オイラー線: 一般的な三角形において、垂心H、重心G、外心Oの三点は必ず同一線上に並びます。この直線は「オイラー線」と呼ばれています。ただし、正三角形の場合はこれら全ての点が一致するため、オイラー線は定義されません。
九点円: 垂心Hと外心Oを結ぶ線分の中点は、三角形の「九点円」（3辺の中点、3つの垂線の足、各頂点と垂心の中点を通る円）の中心となります。

垂足三角形と垂心

元の三角形ABCに対して、その三つの垂線の足H_a、H_b、H_cを結んでできる三角形を「垂足三角形」といいます。

元の三角形ABCが鋭角三角形の場合、その垂心Hは、垂足三角形H_aH_bH_cの内心（内接円の中心）となります。
元の三角形ABCが鈍角三角形の場合、その垂心Hは、垂足三角形H_aH_bH_cの傍心の一つとなります。

その他の性質

垂心には他にもいくつかの興味深い性質があります。

例えば、三角形ABH（頂点A, Bと垂心Hを結んでできる三角形）を考えると、その垂心は元の三角形の頂点Cになります。同様に、三角形BCHの垂心はA、三角形CAHの垂心はBとなります。
三角形の辺の長さa, b, cと対角α, β, γ、外接円の半径R、そして垂心から各頂点への距離AH, BH, CHの間には、正弦定理に関連した以下の関係が成り立ちます。

AH = 2R cosα
BH = 2R cosβ
CH = 2R cosγ

外接円上の任意の点Pと垂心Hを結ぶ線分PHの中点は、常に九点円上に存在します。また、点Pから三角形の各辺に下ろした垂線の足が作る直線（シムソン線）は、この線分PHの中点を通ることが知られています。
元の三角形ABCの各頂点を通り、それぞれの対辺に平行な直線を引いてできる新しい三角形A'B'C'を考えます。このとき、元の三角形ABCの垂心Hは、新しい三角形A'B'C'の外心（外接円の中心）と一致するという性質があります。

座標による表現

座標平面上で三角形の三頂点の座標が分かっている場合、計算によって垂心の座標を求めることができます。一般の三角形の座標表示は比較的複雑になりますが、例えば三頂点が単位円周上にある場合には、より単純な形で表されます。また、三角形の重心座標を用いると、垂心は各角のタンジェントの値の比 tanα : tanβ : tanγ で表される点となります。

関連項目

三角形の中心
オイラー線
頂垂線

外部リンク

垂心に関する情報は、数学の専門的なウェブサイト（例：MathWorld、PlanetMath、ProofWikiなど）でも詳しく解説されており、様々な定理や証明を参照することができます。

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