ジョルダン標準形

ジョルダン標準形：行列の標準形とその応用

ジョルダン標準形は、線形代数において重要な概念であり、複素数体などの代数的閉体上の任意の正方行列を、相似変換によって特定の標準形に変換する手法です。この標準形は、行列の固有値とそれらに関連するジョルダン細胞と呼ばれる特殊な行列ブロックを用いて表現されます。ジョルダン標準形への変換は、行列の性質をより深く理解し、様々な計算を簡略化する上で非常に役立ちます。本稿では、ジョルダン標準形の定義、線形変換への拡張、特性多項式や最小多項式との関係、そして具体的な計算アルゴリズムと存在証明について詳細に解説します。

ジョルダン標準形の定義

ジョルダン標準形の中核となるのはジョルダン細胞です。ジョルダン細胞は、対角成分に同じ固有値λを持ち、その上側の成分に1が並ぶ上三角行列です。例えば、n次ジョルダン細胞 J_n(λ) は以下のようになります。


J_n(λ) =
[ λ 1 0 ... 0 ]
[ 0 λ 1 ... 0 ]
[ 0 0 λ ... 0 ]
[ ... ... ... ... ... ]
[ 0 0 0 ... λ ]


任意のn次正方行列Aは、ある正則行列Pを用いて、以下の形のジョルダン標準形Jと相似になります。


J = P⁻¹AP =
[ J_{n1}(λ1) 0 ... 0 ]
[ 0 J_{n2}(λ2) ... 0 ]
[ ... ... ... ... ... ]
[ 0 0 ... J_{nk}(λk) ]


ここで、λiは行列Aの固有値であり、各J_ni(λi)は固有値λiに対応するジョルダン細胞です。このJが、行列Aのジョルダン標準形です。

線形変換への拡張

ジョルダン標準形の概念は、行列だけでなく、線形変換にも拡張できます。有限次元線形空間V上の線形変換fに対して、半単純成分fsと冪零成分fnを用いて、f = fs + fnという加法的ジョルダン分解を行うことができます。ここで、fsはVを固有空間の直和に分解し、fnは冪零変換です。

さらに、線形変換fに対してジョルダン基底という特別な基底が存在します。この基底を用いてfを表現行列で表すと、その表現行列がジョルダン標準形となります。

特性多項式、最小多項式との関係

行列Aのジョルダン標準形Jは、Aの特性多項式f_A(x)と密接な関係があります。具体的には、f_A(x) = f_J(x)が成り立ちます。また、Aの最小多項式φ_A(x)についても、φ_A(x) = φ_J(x)が成り立ちます。最小多項式は、行列Aをゼロ行列にする多項式のうち次数が最小のものを指します。

特性多項式の因数分解から、固有値の重複度とジョルダン細胞のサイズに関する情報が得られます。同様に、最小多項式の因数分解は、各固有値に対応する最大サイズのジョルダン細胞のサイズを示します。

ジョルダン標準形の計算アルゴリズム

ジョルダン標準形を求めるアルゴリズムは、行列の固有値と固有空間を用いて、段階的にジョルダン細胞を構成する手法です。具体的には、以下のステップで行います。

1. 行列Aの固有値λ1, ..., λsを求めます。
2. 各固有値λiに対して、A-λiIの階数を調べ、ジョルダン細胞のサイズを決定します。
3. 各ジョルダン細胞に対応する基底ベクトルを、固有空間とA-λiIの像を用いて計算します。
4. これらの基底ベクトルを並べて正則行列Pを構成し、P⁻¹APがジョルダン標準形となります。

ジョルダン標準形の存在証明

ジョルダン標準形の存在は、線形空間の次元に関する数学的帰納法によって証明されます。基底の線形独立性と、線形変換の像と核の関係を用いて、任意の線形変換に対してジョルダン基底が存在することを示すことができます。この証明は、同時にジョルダン標準形を求めるアルゴリズムの正当性も保証します。

例

具体的な例を通して、ジョルダン標準形がどのように計算されるかを示します。様々なケース（対角化可能な行列、対角化不可能な行列など）を提示し、それぞれの特性多項式、最小多項式、そしてジョルダン標準形を計算することで、その概念の理解を深めます。

まとめ

ジョルダン標準形は、行列の構造を明らかにし、様々な行列計算を簡略化する強力なツールです。その理論的背景と具体的な計算方法を理解することで、線形代数のより高度な応用へと繋がるでしょう。

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