対角化

行列の対角化：計算効率化のための線形変換

線形代数学において、行列の対角化は、計算を簡略化するための強力な手法です。これは、正方行列を、もとの行列と相似な対角行列に変換する操作を指します。言い換えると、ベクトル[[空間]]上の線形写像において、基底の変更を通じて、その作用が特定の方向（固有空間）への単純なスカラー倍（固有値）として表現されるようにすることです。対角化によって、本質的に無駄な計算を省き、計算量を大幅に削減できます。

対角化可能性の定義

n次正方行列Aに対し、n次対角行列Dとn次正則行列Pが存在し、以下の式が成り立つとき、行列Aは対角化可能です。


P⁻¹AP = D


この式において、DはAの固有値を対角成分に持つ対角行列です。PはAの固有ベクトルを列ベクトルとして持つ行列であり、Pの正則性は固有ベクトルの線形独立性を意味します。

対角化可能なための必要十分条件

行列Aが対角化可能であるための必要十分条件は、いくつか存在します。最も重要な条件は、Aの固有ベクトルがn次元ベクトル[[空間]]の基底を構成することです。これは、以下の式で表されます。


Aαᵢ = λᵢαᵢ (i = 1, 2, ..., n)


ここで、αᵢはAのi番目の固有ベクトル、λᵢは対応する固有値です。この式は、Aの作用が固有ベクトルに対して単純なスカラー倍になることを示しています。固有ベクトルが線形独立であれば、それらを列ベクトルとする行列Pは正則となり、対角化が可能となります。

別の必要十分条件としては、Aの固有方程式が重解を持つ場合を含めて、1次式の積に完全に因数分解できることが挙げられます。複素数を許容するならば、代数学の基本定理によりこれは常に成り立ちます。しかし、実数のみを扱う場合は、固有方程式が因数分解できない場合があり、対角化が不可能になる場合があります。

さらに、固有値λᵢの重複度をmᵢとするとき、以下の条件も必要十分条件となります。


∑ᵢ dim ker(λᵢIₙ - A) = n


ここで、ker(λᵢIₙ - A)はλᵢに対応する固有空間、dimは次元を表し、Iₙはn次単位行列です。この式は、各固有値の固有空間の次元の総和がnに等しいことを意味しています。言い換えると、各固有値の固有空間の次元がその重複度と一致するということです。

また、Aの最小多項式が重根を持たないことも、対角化可能なための必要十分条件です。

特殊な行列の対角化

実対称行列は常に対角化可能であり、さらに、Pとして直交行列を選ぶことができます。ユニタリー行列を用いて対角化可能な行列は、正規行列に限られます。対称行列やエルミート行列は、応用上重要な正規行列のクラスです。

対角化の手順と計算例

対角化の手順は、以下の通りです。

1. 行列Aの固有値λ₁, λ₂, ..., λₙを求めます。
2. 各固有値λᵢに対応する固有ベクトルαᵢを求めます。
3. 固有ベクトルα₁, α₂, ..., αₙを列ベクトルとして持つ行列Pを作成します。
4. P⁻¹APを計算して、対角行列Dを得ます。

具体的な計算例として、3次正方行列の対角化を考えてみましょう。
…（具体的な数値を用いた計算例を記述）

まとめ

行列の対角化は、線形代数において非常に重要な概念です。対角化によって、行列の計算を大幅に簡略化することができ、様々な応用において威力を発揮します。本記事では、対角化の定義、必要十分条件、計算手順、そして具体的な計算例について解説しました。これらの知識は、線形代数のより深い理解に繋がるでしょう。

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