スキューズ数

スキューズ数について

スキューズ数（Skewes number）とは、南アフリカの数学者スタンレー・スキューズが提唱した、素数の個数に関する極めて大きな数です。この数は、ある自然数 x に対して、素数の個数を示す関数 π(x) が、対数積分 li(x) を超える最小の x の上界として定義されます。一方で、この数が示す x 自体を指すこともあります。2021年時点では、スキューズ数は 10^14 より大きく、1.3983 × 10^316 未満であることが確認されているものの、具体的な値は特定されていません。

スキューズ数の歴史

素数定理により、漸近的に π(x) は li(x) に近づくことが知られており、実際には x が比較的小さい場合、li(x) の方が常に大きいことが観察されています。このため、π(x) > li(x) となる x の存在が自然と議論されることになりました。著名な数学者ガウスやリーマンは、これを否定する予測を立てていました。しかし、スキューズの指導教官であるリトルウッドは、1914年にそのような x の存在を証明し、π(x) − li(x) の符号が無限回変わることを示しました。つまり、π(x) と li(x) は何度も交差することになります。

スキューズは、1933年の研究でリーマン予想が正しいと仮定し、π(x) > li(x) となる x の上界を次のように示しました。

$$
\text{スキューズ数} = e^{e^{e^{79}}} \left(\approx 10^{10^{10^{33.947}}} < 10^{10^{10^{34}}}\right)
$$

これは「第一スキューズ数」と呼ばれ、当時の数学界で重要な議論として登場しました。しかし、他の巨大数と比較すると、その位置は後に取って代わられることになります。時を経て、スキューズは1955年に、リーマン予想の仮定なしに次の数以下に x が存在することを証明しました。

$$
\text{第二スキューズ数} = e^{e^{e^{e^{7.705}}}} \left(< 10^{10^{10^{964}}}\right)
$$

この値は、単純な表現として 10^{10^{10^{10^{3}}}} も第二スキューズ数の近似値として用いられます。

スキューズ数の評価の改良

スキューズが初めに示した素数の上界は非常に大きいため、この値をより小さく評価する試みが行われました。具体的には、コンピュータを用いてリーマンゼータ関数の零点を解析する方法が使われました。1966年のLehmanの研究によると、1.53 × 10^{165} から 1.65 × 10^{165} の間に π(x) > li(x) を満たす整数 x が連続して10,500個以上存在することがわかりました。

また、H. J. J. te Riele（1987）は上限を約 7 × 10^{370} にまで下げ、Bays & Hudson（2000）はさらに小さい 1.3983 × 10^{316} にまでこの値を改善しました。ただし、x の具体的な値は未だに明らかにされていないままです。

一方、Rosser & Schoenfeld（1962）は特定の範囲で常に π(x) < li(x) であることを証明しました。この研究は Brエント（1975）や Kotnik（2008）によって更新され、結果的には x < 10^{14} は常に π(x) < li(x) となることが確定しました。

歴史的に、スキューズ数に関する理論と研究は非常に深く、多くの数学者たちによって脈々と引き継がれており、未解決の問題や新たな発見を通じて、数学の世界で重要な位置を占めています。

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