零点

複素解析における正則関数の零点

複素解析において、正則関数の零点とは、関数の値が0となる点のことです。関数が恒等的に0でない限り、これらの零点は必ず孤立しています。この性質は、一致の定理や解析接続の一意性を証明する際に非常に重要になります。

孤立零点

正則関数 f の零点 a が孤立しているとは、a を中心とする十分小さな円板の中に、a 以外の零点が存在しないことを意味します。この性質は、正則関数の局所的な挙動を調べる上で基礎となります。

f の零点 a の周りでは、正則関数の性質により、以下の様なテイラー展開が可能です。


f(z) = Σ_{k=1}^∞ α_k (z - a)^k (∀z ∈ D(a; r))


ここで、α_k は展開係数、D(a; r) は a を中心とする半径 r の開円板です。定数項は α₀ = f(a) = 0 なので、Σは k=1 から始まります。係数は α_k = f^(k)(a) / k! となります。

零点の重複度

孤立零点の重要な性質として重複度があります。正則関数 f の孤立零点 a の重複度が n であるとは、任意の自然数 k < n について f^(k)(a) = 0 であり、かつ f^(n)(a) ≠ 0 となることを意味します。この場合、a を n-位の零点と呼び、n = 1 の場合は単純零点と呼びます。

a が f の n-位の孤立零点であるための必要十分条件は、ある正則関数 g が存在し、f(z) = (z - a)^n g(z) (∀z ∈ D(a; r)) かつ g(a) ≠ 0 を満たすことです。

孤立零点の原理

もし、正則関数 f の零点 a が孤立していない場合、a を含むある円板上で f は恒等的に0になります。この原理は、正則関数の零点の分布を理解する上で非常に重要です。

一致の定理

一致の定理は、二つの正則関数が領域内で一致する条件を述べています。具体的には、二つの正則関数 f₁ と f₂ が領域 U の中で、共通の零点の集合が少なくとも一つの集積点を持つならば、f₁ と f₂ は U 全体で一致する、というものです。この定理は、解析的延長の一意性を保証する上で重要です。

別の表現として、点 a ∈ U と、a に収束する点列 {z_n} が存在し、任意の n について f₁(z_n) = f₂(z_n) が成り立つならば、f₁ と f₂ は U 全体で一致するというものも挙げられます。

解析的延長の原理

一致の定理から導かれる重要な帰結の一つに、解析的延長の一意性があります。例えば、ある領域で定義された正則関数を、より広い領域に解析接続する場合、その方法は高々一つしか存在しません。これは、複素関数の性質を理解する上で非常に重要です。

函数関係不変の法則

実数の範囲で成り立つ関数の関係式は、解析接続によって複素数の範囲でも成り立ちます。例えば、指数関数の加法定理 exp(x + y) = exp(x)exp(y) は、実数の範囲だけでなく、複素数の範囲でも成り立ちます。これは一致の定理を用いて証明できます。

零点の数値計算

正則関数の零点を数値的に求めるための様々な手法が開発されています。これらの手法は、解析関数の応用において非常に重要です。具体的な手法については、参考文献を参照してください。

参考文献

高木貞治『解析概論』
Kravanja, P., Ragos, O., Vrahatis, M. N., & Zafiropoulos, F. A. (1998). ZEBEC: A mathematical software package for computing simple zeros of Bessel functions of real order and complex argument. Computer physics communications, 113(2-3), 220-238.
Kravanja, P., Van Barel, M., Ragos, O., Vrahatis, M. N., & Zafiropoulos, F. A. (2000). ZEAL: A mathematical software package for computing zeros of analytic functions. Computer Physics Communications, 124(2-3), 212-232.
Johnson, T., & Tucker, W. (2009). Enclosing all zeros of an analytic function—A rigorous approach. Journal of Computational and Applied Mathematics, 228(1), 418-423.

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