スクイーズ演算子

スクイーズ変換とその定義

量子物理学の領域において、特に電磁場のモードに関連する「スクイーズ変換」は、特定の数学的表現を通じて定義されます。この変換は、次のように表されます。

$$
\hat{S}(z) = \exp \left( \frac{1}{2} (z^{} \hat{a}^{2} - z \hat{a}^{\dagger 2}) \right)
$$

ここで、$z$ は複素数で、通常は polar form で示され、$z = re^{i\theta}$ という形をとります。また、$egin{pmatrix} \hat{a} \end{pmatrix}$ と $egin{pmatrix} \hat{a}^{\dagger} \end{pmatrix}$ は、それぞれ生成演算子と消滅演算子を指します。重要なのは、このスクイーズ演算子がユニタリーである点です。

演算子の性質

スクイーズ演算子が持つ基本的な性質として、次のような関係が成立します。

$$
\hat{S}(\zeta) \hat{S}^{\dagger}(\zeta) = \hat{S}^{\dagger}(\zeta) \hat{S}(\zeta) = \hat{1}
$$

この関係から、スクイーズ演算子が与える変換は「逆もまた同様」を表していることが理解されます。

生成消滅演算子への作用

スクイーズ演算子が生成消滅演算子に作用すると、以下のような変換が得られます。

1. $$\hat{S}^{\dagger}(z) \hat{a} \hat{S}(z) = \hat{a} \cosh r - e^{i \theta} \hat{a}^{\dagger} \sinh r$$
2. $$\hat{S}^{\dagger}(z) \hat{a}^{\dagger} \hat{S}(z) = \hat{a}^{\dagger} \cosh r - e^{-i \theta} \hat{a} \sinh r$$

これらの式は、スクイーズ演算子が量子状態に与える影響を示しています。特に、スクイーズ演算子が真空状態に作用すると、「真空スクイーズド状態」が生じます。さらに、コヒーレント状態と作用する際には「スクイーズドコヒーレント状態」が作り出されます。

注意点

スクイーズ演算子を用いる際の注意点として、変位演算子と交換しない性質があります。具体的には、以下のようになります。

$$
\hat{S}(z) \hat{D}(\alpha)
eq \hat{D}(\alpha) \hat{S}(z)
$$

それだけでなく、生成消滅演算子とも交換しません。このため、スクイーズ演算子を用いる際は、その特性を考慮する必要があります。

スクイーズ演算子と変位演算子の関係

しかし、次のような簡単な関係式が存在します。

$$
\hat{D}(\alpha) \hat{S}(z) = \hat{S}(z) \hat{S}^{\dagger}(z) \hat{D}(\alpha) \hat{S}(z) = \hat{S}(z) \hat{D}(\gamma)
$$

ここで、$egin{pmatrix} \gamma \end{pmatrix}$ は次の式で示されます。

$$\gamma = \alpha \cosh r + \alpha^{} e^{i \theta} \sinh r$$

スクイーズド状態の生成

変位演算子やスクイーズ演算子が真空状態に作用した場合、スクイーズド状態が形成されます。この現象を数学的に表現すると、次のようになります。

$$\hat{D}(\alpha) \hat{S}(r) |0\rangle = |\alpha, r\rangle
$$

ここで、$|0\rangle$ は真空状態を示し、$|\alpha, r\rangle$ はスクイーズド状態を示しています。

脚注

この内容の背後には、ボゴリューボフ変換などの関連項目も存在します。これにより、量子物理学における多様なテーマが探求されていることが理解できます。スクイーズド状態の理解は、量子光学の応用において極めて重要な要素となります。

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