ボゴリューボフ変換

ボゴリューボフ変換：粒子対生成の変換

理論物理学において、ボゴリューボフ変換は、複数の生成消滅演算子を線形結合することで新たな粒子対（準粒子）を生成する数学的変換です。ニコライ・ボゴリューボフとジョン・ジョージ・ヴァラティンが、それぞれ独立に均一系のBCS理論の解法として導入しました。この変換は、正準交換関係代数または正準反交換関係代数の同型写像を成し、ハミルトニアンを対角化して固有状態を求める際に用いられます。超伝導体のBCS波動関数の導出や、ウンルー効果、ホーキング輻射といった重要な物理現象の理解にも不可欠な役割を果たしています。

ボース粒子の場合

まず、同じ振動数を持つ2つの調和振動子の系を考えます。この系のハミルトニアンは、それぞれの調和振動子のハミルトニアンの和で表されます。この系の基底状態（真空状態）は、各調和振動子の基底状態のテンソル積で表されるフォック状態です。

ここで、ユニタリー演算子Uθを導入します。この演算子は、2つの調和振動子の生成消滅演算子を混ぜ合わせる役割を持ちます。この変換こそがボゴリューボフ変換です。Uθは、生成消滅演算子を新たな生成消滅演算子に変換する行列で表されます。この行列は、双曲線関数coshθとsinhθを用いて表現され、行列式が1であることからユニタリー性、つまり変換後の演算子がボース粒子の交換関係を満たすことが保証されます。

変換後の生成演算子によって生成される粒子は、ボゴリューボフ準粒子、またはボゴロンと呼ばれます。ボゴリューボフ変換されたハミルトニアンは、元のハミルトニアンをUθでユニタリー変換することで得られます。重要な点は、この新しいハミルトニアンは全粒子数演算子と可換ではないため、全粒子数を保存しないということです。

新しいハミルトニアンの基底状態は、元の真空状態にUθを作用させることで得られます。この基底状態は、それぞれの調和振動子が同じエネルギーレベルに励起している状態の重ね合わせ状態、つまり絡み合った状態（entangled state）となっています。この状態は、粒子1と粒子2がn個ずつ対生成された状態の重ね合わせとして解釈できます。この基底状態は純粋状態であることが、ユニタリー変換から明らかです。

ボゴリューボフ変換では、各調和振動子に対応する粒子の量子数（電荷や運動量）が逆であれば、これらの量子数の保存則を満たすことができます。例えば、運動量kと-kを持つモードの生成消滅演算子を混ぜることで、運動量保存則を破ることなく粒子生成を記述できます。しかし、無限個の生成消滅演算子を扱う場合は、変換後の演算子は元の演算子とユニタリー変換で結びつかない場合があります。この現象をユニタリー非同値性といい、物理量の計算結果が異なる可能性があります。

ボース粒子のボゴリューボフ変換は、超流動現象や反強磁性体の理論などで応用されます。また、曲がった時空における場の量子論において、異なる真空状態間のボゴリューボフ変換を考えることで、ホーキング輻射が導出されます。

フェルミ粒子の場合

フェルミ粒子の場合も、ボース粒子と同様に2種類のフェルミ粒子の生成消滅演算子を考え、ユニタリー変換を用いてボゴリューボフ変換を行います。変換行列は三角関数cosθとsinθを用いて表現され、行列式が1であることからユニタリー性、つまり変換後の演算子がフェルミ粒子の反交換関係を満たすことが保証されます。

ボゴリューボフ変換されたハミルトニアンと基底状態はボース粒子と同様の方法で得られます。基底状態は、粒子対が生成された状態となりますが、パウリの排他原理により、1つの粒子対しか生成されません。

フェルミ粒子のボゴリューボフ変換は、超伝導のBCS理論で重要な役割を果たします。平均場近似では、系のハミルトニアンは生成消滅演算子による双線型項の和で表されますが、ボゴリューボフ変換を用いることで、ハートリー・フォックの方法を超えたより精密な記述が可能となります。この拡張された方法は、ハートリー・フォック・ボゴリューボフ法と呼ばれています。また、核物理学においても、重元素の核子の対エネルギーを記述する際に用いられます。

スクイーズ変換との関係

最後に、スクイーズ変換との関係について触れておきます。スクイーズ変換は、1つの調和振動子の生成消滅演算子を混ぜる変換であり、ボゴリューボフ変換と混同される場合があります。しかし、ボゴリューボフ変換は2つ以上の生成消滅演算子を扱う点が異なります。スクイーズ変換は、電荷や運動量などの保存量を持たない粒子に対してのみ適用可能であるのに対し、ボゴリューボフ変換は、量子数の保存則を満たすことでこの制約を回避します。

ボゴリューボフ変換は、多体系の量子論において、粒子対生成を記述する強力な数学的ツールであり、様々な物理現象の理解に貢献しています。

もう一度検索