スケールハイト

スケールハイトとは

スケールハイトは、ある量が指数的に減少する際の距離を示す大気力学における重要な概念です。この指標を用いることで、惑星の大気の特性を数理的に理解できます。

定義

地球などの惑星の大気では、高度が上がるにつれて大気圧は指数関数的に減少します。スケールハイト（H）は以下の式で表されます。

$$
H = \frac{kT}{Mg}
$$

ここで、

• - $k$ はボルツマン定数
• - $T$ は大気表面の平均絶対温度
• - $M$ は乾燥大気の平均分子量
• - $g$ は惑星表面の重力加速度

を意味します。

物理的意味

大気圧はその重さによって生じます。ある高度 $z$ における大気の密度を $
ho$、圧力を $P$ とした場合、微小な上方移動 $dz$ に伴う圧力の変化 $dP$ は、次のように表されます。

$$
\frac{dP}{dz} = -g\rho
$$

ここで重力加速度 $g$ は、微小な高度変化に対しては定数と見なせます。この式の負の符号は、高度が上昇するにつれて圧力が減少することを示しています。理想気体の状態方程式を用いて、密度 $
ho$ を次のように表すことができます。

$$
\rho = \frac{MP}{kT}
$$

これを代入すると、圧力の変化に関して次の関係が得られます。

$$
\frac{dP}{P} = -\frac{dz}{H}
$$

海面の圧力を $P_0$ とした場合、高度 $z$ における圧力 $P$ は以下のように表されます。

$$
P = P_{0} e^{-\frac{z}{H}}
$$

これは、圧力が高度に対して指数的に減少していることを示しています。具体的には、高度 $z = H$ の地点では、海面での圧力 $P_0$ の $1/e$ 倍になります。

温度との関係

地球の場合、海面上の圧力 $P_0$ は約 $1.01\times10^5$ Pa、乾燥大気の平均分子量 $M$ は $28.964$ u、重力加速度 $g$ は $9.81$ m/s² です。これらの値を用いることで、スケールハイトと温度の換算係数を計算すると、

$$
\frac{k}{Mg} = \frac{1.38\times10^{-23} \mathrm{J/K}}{(4.808\times10^{-26} \mathrm{kg}) \times (9.81 \mathrm{m/s^2})} = 29.26 \mathrm{m/K}
$$

が得られます。この関係式から、温度とスケールハイトの関係が導き出されます。

• - $T = 290$ K の時、$H = 8500$ m
• - $T = 273$ K の時、$H = 8000$ m
• - $T = 260$ K の時、$H = 7610$ m
• - $T = 210$ K の時、$H = 6000$ m

他の応用

スケールハイトは大気力学に限らず、宇宙物理学の分野でも利用されます。たとえば、降着円盤において密度や圧力が指数的に減少する際、その距離の指標としてスケールハイトが使われます。これにより、円盤の厚みを定量的に評価できることがわかります。

注意点

なお、100 kmを超える高高度の大気では、分子の凝縮が起こるため、各分子や原子ごとに異なるスケールハイトを持つことが観察されています。これは特に大気の動態を理解する上で重要なポイントです。

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