ススリンの問題

ススリンの問題とは

ススリンの問題は、1920年にミハイル・ヤコヴレヴィチ・ススリンによって提起された全順序集合に関する深い数学的な問いです。この問題では、特定の条件を満たす空でない全順序集合が、実数直線と順序位相同型であるかどうかが問われます。

問題の定式化

全順序集合Rが以下の四つの条件を満たす場合を考えます：
1. Rには最小元と最大元が存在しない。
2. R上の順序は稠密である。つまり、任意の異なる2元の間には少なくとも1つの元が存在する。
3. R上の順序は完備であり、任意の空でない有界な集合には上限と下限が存在する。
4. Rの互いに交わらない空でない開区間の濃度が高々可算である。また、これによりRは可算鎖条件（c.c.c.）を満たします。

このとき、Rは実数直線Rと順序位相同型であるかが問題となります。もしRが可算鎖条件を満たすための必要条件として、可算な稠密部分集合を持つことに代替されるなら、そうしたRは実数直線Rに順序位相同型であるとされています。

ススリンの仮説

ススリンの問題の背景には、ススリン線という概念があります。これは、実数直線Rとは同型でないが、上記の条件（1）から（4）を満たす全順序集合のことを指します。ススリン線の存在とススリン木の存在は同値であることが証明されており、構成可能性公理V＝Lのもとでは、ススリン線は存在します。

ススリンの仮説（SH）とは、ススリン線が存在しないという命題を指します。つまり、c.c.cを満たし端点を持たない稠密完備線型順序が実数直線と同型であるという考え方です。さらに、SHは高さω1の木が長さω1の枝か濃度ω1の反鎖を持つこととも同値です。このような木の中で、長さω1の枝も濃度ω1の反鎖も持たないものをススリン木と呼びます。

一般化されたススリンの仮説

より一般的な命題として定式化されたのが、一般化されたススリンの仮説（GSH）です。これは、任意の無限正則基数κに対して、高さκの木は必ず長さκの枝か濃度κの反鎖を持つことを主張します。

ススリンの仮説はZFC（ツェルメロ＝フレンケル集合論）から独立していることが確認されており、一般連続体仮説（GCH）や連続体仮説の否定（￢CH）とも独立です。しかし、マーティンの公理（MA）と￢CHの下では、SHは導かれることが示されています。また、GCHとGSHが互いに矛盾していないかどうかは現在も未解決の問題です。

関連項目

ススリンの問題は、数学の集合論の中で特に注目されています。ZFCから独立な命題の一例として位置づけられることが多く、数学的な研究や議論の中で重要な役割を果たしています。

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