スターン素数

スターン素数の概要

スターン素数（Stern prime）とは、ある特定の条件を満たす素数であり、その特徴は「それより小さい素数と0以外の平方数の2倍の和として表現できない」という点にあります。したがって、素数 q がスターン素数であるためには、q = p + 2b² の形で表現できる素数 p と整数 b を使って書くことができない必要があります。

この名称は、19世紀のドイツの数学者モリッツ・アブラハム・シュテルンに由来しています。スターン素数として知られる最初の数は、2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493 などがあり、これらはオンライン整数列大辞典の数列 A042978 にも記載されています。

スターン素数の特徴的な例

例えば、[13]]7 がスターン素数である理由は、この数から0以外の平方数の2倍を小さい順に引いて生成される数列 {135, 129, 119, 105, 87, 65, 39, 9} を考えるとわかります。これらの数はどれも素数にはなりません。一方で、139 はスターン素数ではありません。なぜなら、139 は 137 + 2] や [13]]1 + [[2] といった形式で表現可能だからです。

表現の方法

面白いことに、多くの[素数]]は2通り以上にこの表示を行うことができ、例えば双子素数の大きい方は、ゴールドバッハの表現方式である p + 2] で書くことができます。また、[素数]]が四つ子素数の中で最大のものである場合、p + 8 として p + [[2] で表現できることもあります。

数列 A007697 には、少なくとも n 通りにこのような表示が可能な最小の奇数が順に並べられています。

オイラーの観察とゴールドバッハの予想

レオンハルト・オイラーは自然数が大きくなるに従い、スターン素数の表示方法が増えていくことに気づきました。彼は、こうした表示法を一通りも持たない数、つまりスターン素数に限界があると考えました。このようにして、スターン素数が有限であるという説が生まれました。Jud McCranie は、最初の100000個の素数の中にすべてのスターン素数が含まれていると述べています。

奇の合成スターン数

興味深いことに、奇の合成スターン数も存在しており、現在知られているのは5777と5993だけです。これは、クリスティアン・ゴールドバッハが「全てのスターン数は素数である」と予想したことからもわかるように、彼の主張が誤りであることを示しています（A060003 スターン数）。

ゴールドバッハはオイラー宛の手紙で、すべての奇数は「素数」p と整数 b を使って p + 2b² という形で表現できると予想しました。このことに対して、Laurent Hodges はスターンがゴールドバッハの書簡に触れたことがきっかけでこの問題に興味を持つようになったと考えています。

当時は1が[素数]]とされていたため、1 + 2] と表示できる[[3がこのコンテキストでのスターン素数には含まれませんが、それ以外のスターン素数は全て1を素数と見なしても成立します。

参考文献

- Laurent Hodges, A lesser-known Goldbach conjecture

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