タクシー数

タクシー数の概要

タクシー数、あるいはタクシー数列（taxicab number、Ta(n)またはTaxicab(n)とも表記）は、2つの立方数の和としてn通りに表現される最小の正整数として定義されています。この概念は、1954年に数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとエドワード・メートランド・ライトによって確立されました。彼らの研究により、任意の正の整数nに対して、そのタクシー数Ta(n)が存在することが示されました。

タクシー数の名の由来

「タクシー数」という名称は、ハーディが1729というタクシーの番号に乗っていたときに、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンから指摘されたエピソードに由来しています。この番号が二通りの立方数の和として表現できる最小の数であり、そのエピソードは数学界で有名になっています。タクシー数の問題にはタクシーそのものとは直接の関連はないものの、この名称は人々の興味を引き続けています。

タクシー数の計算

タクシー数は、与えられた正の整数Nに対して、不定方程式

$$
x^3 + y^3 = N$$
において、整数解y ≥ x > 0の個数を表すs(N)に関連しています。s(N)がn以上になる最小のNがタクシー数Ta(n)となります。興味深いことに、この方程式は楕円曲線に関連しており、条件を満たす無限の有理点が存在します。この性質により、任意のnに対してTa(n)が存在することが示されます。

タクシー数の例

現在までに知られているタクシー数のいくつかを挙げます:

• - Ta(1) = 2 = 1³ + 1³
• - Ta(2) = 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³
• - Ta(3) = 87539319 = 167³ + 436³ = 228³ + 423³ など

さらに高次のタクシー数を求めるのは非常に難易度が高く、現在ではコンピュータによって新たな数が発見されています。

タクシー数の上限

また、タクシー数には上限も存在します。これはTa(7)からTa(12)までの上限値が推定されており、計算を用いてたくさんの候補が存在するものの、確定したタクシー数としては証明がされていない段階です。

発見の歴史

タクシー数の歴史は、ハーディとラマヌジャンのエピソードを通じて数々の研究者が続けて行ってきました。例えば、ジョン・リーチは1957年にTa(3)を発見しましたし、1994年にJ・A・ダーディスがTa(5)を発見したことは記憶に新しいです。

まとめ

タクシー数は数学の中で独特の位置を占めており、整数論や楕円曲線理論との関連が魅力的です。数学者たちは、タクシー数の完全な理解を目指し、日々新しい発見を求め続けています。このように、タクシー数はその起源や性質を通して、数学界に長い間興味を持って取り上げられてきました。

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