タレスの定理

タレスの定理：円周角と直角三角形

タレスの定理は、幾何学における重要な定理の1つです。この定理は、円周上の2点と、その2点を通る直径上の任意の点を結ぶ2直線が、常に直角をなすことを示しています。言い換えれば、直径を斜辺とする直角三角形において、その斜辺の中点は必ず外接円の中心となるということです。

歴史と背景

この定理は、古代ギリシャの哲学者であり数学者でもあったタレスにちなんで名付けられました。タレス自身は、この定理を最初に発見した人物ではないと考えられていますが、彼がエジプトでピラミッドの高さを測定する際にこの定理を用いたという逸話から、彼の名が付いたと言われています。

実際には、タレス以前からこの定理は知られていた可能性が高いですが、タレスが幾何学の発展に大きく貢献したため、彼の名を残す形となりました。この定理は、円周角の定理の特別な場合と捉えることができます。また、タレスの業績として「幾何学の五定理」というものが伝えられており、その中にタレスの定理が含まれているとされています。

タレスの「幾何学の五定理」

タレスの「幾何学の五定理」の内容は以下の通りです。

1. 円は中心を通る直線によって二等分される。
2. 二等辺三角形の底角は等しい。
3. 交差する直線の対頂角は等しい。
4. 三角形は、底辺とその両底角によって一意に定まる。
5. 半円に内接する三角形は直角三角形である。（タレスの定理）

これらの定理は、幾何学の基礎となる重要な概念であり、後の幾何学の発展に大きな影響を与えました。

定理の証明

タレスの定理の証明は、比較的容易です。円の中心をO、円周上の2点をA、B、直径上の点をCとします。OA、OB、OCは円の半径であるため、OA = OB = OCとなります。

三角形OABと三角形OBCは、それぞれOA=OB、OB=OCの二等辺三角形です。そのため、∠OAB = ∠OBA、∠OBC = ∠OCBが成り立ちます。

∠AOBと∠BOCは、中心角の関係から、∠AOB + ∠BOC = ∠AOC = 180°となります。

三角形ABCにおいて、内角の和は180°であるため、

∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°

また、∠BAC = ∠OAB、∠BCA = ∠OBCであるため、

∠OAB + ∠ABC + ∠OBC = 180°

ここで、∠OAB = ∠OBA、∠OBC = ∠OCBの関係を用いると、

∠OBA + ∠ABC + ∠OCB = 180°

三角形OBCが二等辺三角形であることから、∠OBC = ∠OCBであるため、

∠OBA + ∠ABC + ∠OBC = 180°

∠OBA + ∠OBC = ∠ABC

したがって、

2∠ABC = 180°

∠ABC = 90°

となり、∠ABCが直角であることが証明されます。

結論

タレスの定理は、一見単純な定理ですが、円と直角三角形の関係を明確に示しており、幾何学における基本的な定理として、多くの応用を持ちます。この定理は、古代から現代に至るまで、幾何学の学習や研究において重要な役割を果たしています。

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