チューリング・パターン

チューリング・パターンとは

チューリング・パターンは、イギリスの数学者アラン・チューリングが1952年に提唱した、自発的に生じる空間的なパターンを指します。この概念は、特に生物における形態形成を説明するために用いられており、チューリングの理論に基づく興味深い現象が観察されています。

概要

チューリング・パターンは、2つの変数に基づく連立偏微分方程式に関わります。この方程式は次のように表現されます。
\[
\frac{\partial u}{\partial t} = f(u, v) + D_u
abla^2 u,
\frac{\partial v}{\partial t} = g(u, v) + D_v
abla^2 v
\]
ここで、\(u\)は空間\(r\)と時間\(t\)の関数、\(v\)も同様に定義されます。\(f\)と\(g\)は反応項、\(D\)は拡散係数、そして\(
abla^2\)はラプラシアンです。この方程式群は「反応拡散方程式」と呼ばれます。

チューリングは、2つの拡散係数\(D\)が大きく異なる場合に、反応項が特定の条件を満たすと、この方程式に基づいて空間パターンが自発的に生じることを証明しました。この自発的なパターン形成は特定の波数の不安定化によって引き起こされ、この不安定性を「拡散誘導不安定」または「チューリング不安定」といいます。

形態形成への影響

チューリングの研究は、当初は生物学に広く受け入れられなかったものの、後に重要な洞察を提供するようになりました。その主な目的は、生物の形とパターンの成り立ちを説明することにありましたが、実際にこの理論が実験によって確認されるには時間がかかりました。特に1995年には、近藤滋によってタテジマキンチャクダイの皮膚の模様がチューリング・パターンであることが実証され、理論が実際の生物現象に結びつく重要な転機となりました。

このような発見は、チューリング・パターンの再評価を促し、生物学や数理生物学の研究分野に新たな視点をもたらしました。現代の研究では、チューリングの理論がより多くの生物における形態形成を解明する手段として活用されており、様々な生物の模様や色の仕組みの理解に寄与しています。

参考文献

• - A. M. Turing, The Chemical Basis of Morphogenesis, Philosophical Transactions of the Royal Society, 1952.
• - S. Kondo & R. Asai, A reaction-diffusion wave on the skin of the marine angel fish Pomacanthus, Nature, 1995.
• - 昌子浩登 & 太田隆夫, 3次元チューリングパターン, 数理科学, January 2008.
• - 桑村雅隆, パターン形成と分岐理論：自発的パターン発生の力学系入門, 共立出版, 2015.
• - 長沼毅, 『形態の生命誌』 p140-152.

関連項目

• - アラン・チューリング
• - 反応拡散方程式
• - 数理生物学
• - タテジマキンチャクダイ
• - タイガーブッシュ
• - フェアリー・サークル

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