ディケード (単位)

ディケードとは

ディケード（decade）は、周波数比を対数スケールで測定するための単位です。具体的には、2つの周波数の比が10倍であることを示します。例えば、100Hzの1ディケード上は1000Hz、1ディケード下は10Hzとなります。この単位は、アンプやフィルターなどの周波数特性を記述する際によく用いられます。

ディケードの計算方法

2つの周波数 \( f_1 \) と \( f_2 \) の間のディケード値は、以下の式で計算されます。

常用対数を使用する場合：

\[ \log_{10} (f_2 / f_1) \]

自然対数を使用する場合：

\[ \frac{\ln f_2 - \ln f_1}{\ln 10} \]

例えば、15 rad/s から 150,000 rad/s へのディケード値は以下のようになります。

\[ \log_{10} (150000 / 15) = 4 \]

また、3.2 GHz から 4.7 MHz へのディケード値は以下のようになります。

\[ \log_{10} (4.7 \times 10^6 / 3.2 \times 10^9) = -2.83 \]

オクターブとの比較

ディケードとよく比較される単位にオクターブがあります。1オクターブは周波数比が2倍であることを示します。したがって、1オクターブはディケードで表すと約0.301ディケードとなります。

\[ \log_{10}(2) = 0.301 \]

ディケードを用いた周波数計算

ある周波数から特定のディケード数だけ離れた周波数を求めるには、元の周波数に10のディケード数乗を掛けます。例えば、220Hzの3ディケード下の周波数は次のようになります。

\[ 220 \times 10^{-3} = 0.22 \text{ Hz} \]

また、10の1.5ディケード上の周波数は次のようになります。

\[ 10 \times 10^{1.5} = 316.23 \]

ディケードの分割

1ディケードを特定のステップ数に分割する場合、各ステップ間の周波数間隔は10をステップ数の逆数乗することで求められます。例えば、1ディケードを30ステップに分割する場合、各ステップ間の周波数間隔は次のようになります。

\[ 10^{1/30} = 1.079775 \]

これは、各ステップで周波数が約7.9775%ずつ増加することを意味します。

グラフ表現におけるディケード

電子回路の周波数特性をグラフで表現する際、広い周波数範囲を扱うために、対数スケールが用いられます。特にボード線図では、ディケードを単位とした対数スケールが一般的です。これにより、例えば20Hzから20kHzのような広い周波数範囲を、グラフ上で効果的に表現できます。線形スケールでは、このような広い範囲を収めることは困難です。

周波数特性の記述

周波数特性は、一般に「毎ディケード」の観点で記述されます。例えば、ボード線図では、阻止帯域で-20 dB/decの勾配が見られることがあります。これは、周波数が10倍になるごとに、ゲインが20dBずつ減少することを意味します。

まとめ

ディケードは、周波数の変化を対数的に表現するための便利な単位です。電子工学、音響学など幅広い分野で用いられ、特に周波数特性の分析やグラフ表現において重要な役割を果たします。オクターブと同様に、周波数比を理解する上で不可欠な概念です。

関連項目

オクターブ
サヴァール (単位)
* オーダー (物理学)

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