ボード線図

ボード線図：システムの周波数特性を可視化するツール

ボード線図は、線形時不変系（LTIシステム）の伝達関数の周波数特性を、ゲイン線図と位相線図の組み合わせで表すグラフです。1930年代にヘンドリック・W・ボーディによって開発され、システムの安定性解析や設計において重要な役割を果たしています。

ゲイン線図

ゲイン線図は、周波数に対するゲイン（増幅率）の対数スケールでのプロットです。横軸は対数周波数（デシベル）、縦軸はゲイン（デシベル）で表されます。デシベルを使用することで、ゲインの積が線図上の加算となり、複雑なシステムの解析が容易になります。

ゲインは通常、次式でデシベル（dB）に変換されます。

20log₁₀(X)

ここで、Xはゲインです。

位相線図

位相線図は、周波数に対する位相シフトをプロットしたグラフです。横軸は対数周波数、縦軸は位相（度）で表されます。ゲイン線図と合わせて用いることで、周波数特性全体を把握することができます。

例えば、システムに入力信号Asin(ωt)を与えた場合、出力信号は(A/x)sin(ωt−Φ)となります。ここで、xは減衰率、Φは位相シフトで、一般的に周波数の関数です。

ボード線図の作図

ボード線図は、伝達関数を極と零点の積の形で表現することで作図できます。

骨格ゲイン線図:

伝達関数が以下の形で表されるとします。

H(s) = K Π(s + xn) / Π(s + yn)

ここで、xnとynは定数、s = jωです。

零点(ω = xn)では、decadeあたり20・an dB増加します。
極(ω = yn)では、decadeあたり20・bn dB減少します。

補正ゲイン線図:

骨格ゲイン線図を補正することで、より正確なゲイン線図が得られます。零点では線より上に3・an dB、極では線より下に3・bn dBの点をプロットし、これらの点を滑らかに接続します。

骨格位相線図:

位相線図も極と零点ごとに独立にプロットし、重ね合わせることで作図できます。

零点では、decadeあたり45・an度増加します。
極では、decadeあたり45・bn度減少します。

不安定な極や零点については、上記の傾斜が逆になります。

ゲイン余裕と位相余裕

ボード線図は、負帰還増幅器の安定性を評価するためにゲイン余裕と位相余裕を調べるのに利用されます。

ゲイン余裕: 開ループゲインの位相が-180°となる周波数における、ゲインが1(0dB)を下回る分(dB)。
位相余裕: 開ループゲインが1(0dB)となる周波数における、位相が-180°より上回る分(度)。

ゲイン余裕と位相余裕が十分に大きいと、システムは安定であると言えます。

ボード線図の利用例

ボード線図は、様々なシステムの周波数特性を解析するために利用されます。例えば、RCフィルタの周波数応答や、制御システムの安定性解析などに用いられます。

ボードプロッタ

ボードプロッタは、ボード線図を自動的に描画する電子機器です。特に、帰還制御系やフィルタの解析に便利です。

まとめ

ボード線図は、システムの周波数特性を直感的に理解するための強力なツールです。ゲイン線図と位相線図を組み合わせることで、システムの安定性、周波数応答などを容易に評価できます。制御工学、信号処理、電気電子工学など、幅広い分野で利用されています。

もう一度検索