デザルグの定理

デザルグの定理

デザルグの定理は、17世紀のフランスの幾何学者ジラール・デザルグによって証明された、空間内の二つの三角形の位置関係に関する重要な定理です。アフィン幾何学や通常のユークリッド幾何学の枠組みでも議論されますが、その真価は射影幾何学において最も自然な形で発揮されます。同じく射影幾何学の基礎をなすパスカルの定理と並び称され、この分野の構造を理解する上で欠かせない基本定理の一つとされています。

定理の内容

デザルグの定理は、特定の条件下にある二つの三角形が満たす驚くべき関係を示します。具体的な内容としては、次のようになります。

互いに異なる二つの三角形、例えば△ABCと△abcを考えます。これらの三角形が、対応する頂点同士、すなわちAとa、Bとb、Cとcを結んだ三つの直線Aa、Bb、Ccが一点で交わるという位置関係にあるとします。この一点をデザルグ点と呼ぶこともあります。

この条件が満たされるとき、デザルグの定理は、対応する辺を延長してできる三つの交点が同一直線上にあることを主張します。具体的には、直線ABと直線abの交点をX、直線BCと直線bcの交点をY、そして直線CAと直線caの交点をZとしたとき、点X、Y、Zは必ず一つの直線上にある、という結論を導きます。この直線をデザルグ線と呼ぶことがあります。

この定理は、二つの三角形が「視点」から見て「透視的」である場合に、その対応する辺の交点が一直線上に並ぶことを意味しており、幾何学における基本的な透視図法の原理とも関連が深いです。

射影幾何学と双対性

デザルグの定理は、アフィン幾何学、特に通常のユークリッド幾何学の文脈でも述べることができます。しかし、その場合、対応する辺が平行で交点を持たないといった例外ケースを特別に扱う必要があります。例えば、直線ABとabが平行であれば、その交点Xは「無限遠点」として扱わなければなりません。

これに対して、射影幾何学の枠組みでは、全ての平行線は無限遠点で交わると考えるため、このような例外なく、定理が常に成り立ちます。点と直線が対等に扱われる射影幾何学の双対原理によれば、任意の定理において「点」と「直線」、「〜は〜の上にある」と「〜を通る」、「交点」と「結合する直線」といった用語を入れ替えた双対命題もまた真となります。

デザルグの定理は、この双対原理を適用しても、元の定理自身に戻るという特別な性質を持っています。すなわち、デザルグの定理の双対命題は、定理の条件と結論を入れ替えた形になりますが、その逆もまたデザルグの定理の主張そのものとなるのです。この性質を指して、デザルグの定理は自己双対的 (self-dual) であると言われます。これは、射影幾何学におけるデザルグの定理の美しく重要な側面の一つです。

幾何学の構造との関連

デザルグの定理の成立は、その幾何学がどのような構造を持つかを示す指標ともなります。

空間の次元が3以上である射影幾何学においては、デザルグの定理が常に成り立ちます。これは、これらの高次元射影空間が、ある特定の体（例えば実数体Rや複素数体Cなど）上の線形空間の1次元部分空間全体として構成される標準的な空間であることを保証する性質です。つまり、3次元以上の空間では、デザルグの定理を満たさないような特殊な射影幾何学は存在しないのです。

一方、空間の次元が2である平面射影幾何学では、状況が異なります。ここでは、デザルグの定理は、射影幾何学の基本的な公理からは独立した命題であることが知られています。この独立性の結果、デザルグの定理が成り立たないような平面射影幾何学を構成することが可能となります。このような幾何学は非デザルグ幾何 (non-Desarguesian geometry) と呼ばれ、通常の座標を用いて記述することができません。非デザルグ幾何の存在は、平面幾何学の構造が、高次元の場合に比べてより多様であり得ることを示唆しています。

このように、デザルグの定理は単なる図形に関する性質を示すだけでなく、それが成立するかどうかが、その幾何学全体の代数的な構造や分類に深く関わる、極めて重要な定理と言えるでしょう。

もう一度検索