デデキント無限

デデキント無限集合とは

デデキント無限とは、集合Aが依存する性質の一つで、Aに真部分集合Bが存在し、AとBの間に全単射が成立する場合を指します。これは、Aが「無限」であることを意味しており、直感的には集合の大きさが無限であることを示します。

デデキント無限とデデキント有限

もし集合Aがデデキント無限ではないなら、Aは「デデキント有限」だと言われます。この概念は、リヒャルト・デデキントによって初めて明確に定義されたものであり、自然数に依存しない形で無限を捉える試みでもありました。

ZF公理系におけるデデキント無限

選択公理（AC）なしでのツェルメロ・フレンケル公理系（ZF）は、デデキント無限集合の性質を証明する強さを持たないため、注意が必要です。しかし、特定の条件下において、デデキント無限とされる性質が同値であることが示されています。具体的には、以下の条件によって、デデキント無限であることを証明できます。
1. 集合Aがデデキント無限であること。
2. AからAへの単射ではないが全射である関数が存在すること。
3. 自然数の集合NからAへの単射が存在すること。
4. Aに可算無限な部分集合が存在すること。

これらの条件は、互いに同値であるため、どれか一つを示すことで他の条件の成立も証明されます。

無限集合の定義

一般的に、「無限」とは、どの自然数nに対しても、0からn-1までの任意の有限順序数との全単射が存在しないことを意味します。19世紀後半、数学者たちはデデキント無限と通常の無限の概念が同じであるとの考えを持っていましたが、実際にはこの同値性はACを除いたZF公理系では証明できない点に注目すべきです。

選択公理との関係

選択公理は、任意の集合が整列可能であることを示した理論に基づいています。整列可能な無限集合はデデキント無限であるため、選択公理を前提とすれば、無限集合はデデキント無限であると容易に示すことができます。しかし、この同値性は選択公理よりも弱い仮定で確立できるのです。すなわち、選択公理の成立を仮定しなくとも、無限集合がデデキント無限であることを示すことができます。

デデキント無限の一般化

圏論的な視点から見た場合、集合Aは、すべてのモノ射（単射）f: A → Aが同型射である場合にデデキント有限と定義されます。このような一般化は、数学のより広範な理解を助け、デデキント有限環などの背景にも応用されます。例えば数学内での整列無限集合は、デデキント無限であることが証明されています。

参考文献

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『選択公理と数学』田中尚夫著 遊星社 1987年

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Faith, Carl Clifton. Mathematical surveys and monographs. Volume 65. American Mathematical Society. 2nd ed. AMS Bookstore, 2004.

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Moore, Gregory H., Zermelo's Axiom of Choice, Springer-Verlag, 1982.

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Jech, Thomas J., The Axiom of Choice, Dover Publications, 2008.

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Lam, Tsit-Yuen. A first course in noncommutative rings. Volume 131 of Graduate texts in mathematics. 2nd ed. Springer, 2001.

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Herrlich, Horst, Axiom of Choice, Springer-Verlag, 2006.

このように、デデキント無限という概念は、集合論や無限の性質を理解する上で、基本的かつ中心的な役割を果たします。

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