全単射

全単射（双射）とは

数学において、全単射（ぜんたんしゃ）または双射（そうしゃ）とは、二つの集合の間で、それぞれの要素が過不足なく一対一に対応する写像のことです。具体的には、写像の定義域（入力）となる集合の任意の要素が、終域（出力）となる集合のただ一つの要素に結び付けられ、かつ、終域のすべての要素が、定義域のある要素の像となるような写像を指します。

定義

写像 \( f \) が集合 \( A \) から集合 \( B \) への全単射であるとは、以下の二つの条件が同時に成り立つことを言います。

1. 全射性: 終域 \( B \) のすべての要素 \( b \) に対して、\( f(a) = b \) を満たす定義域 \( A \) の要素 \( a \) が少なくとも一つ存在する。（\( f(A) = B \)）
2. 単射性: 定義域 \( A \) の異なる要素 \( a_1 \) と \( a_2 \) に対して、もし \( f(a_1) = f(a_2) \) ならば、必ず \( a_1 = a_2 \) である。（\( a_1
eq a_2 \) ならば \( f(a_1)
eq f(a_2) \)）

これらの条件を合わせると、終域 \( B \) の任意の要素 \( b \) に対して、 \( f(a) = b \) を満たす定義域 \( A \) の要素 \( a \) がただ一つだけ存在することになります。

数式で表現すると、以下のようになります。

\( \forall b \in B, \exists ! a \in A \text{ s.t. } b = f(a) \)

ここで、 \( \exists ! \) は「ただ一つ存在する」ことを意味します。

全単射の例

以下に、全単射の例をいくつか示します。

実数全体 \( \mathbb{R} \) から正の実数全体 \( (0, \infty) \) への写像 \( f(x) = e^x \) は全単射です。
正の実数全体 \( (0, \infty) \) から実数全体 \( \mathbb{R} \) への写像 \( f(x) = \log x \) は全単射です。
区間 \( (-\pi/2, \pi/2) \) から実数全体 \( \mathbb{R} \) への写像 \( f(x) = \tan x \) は全単射です。
自然数全体の冪集合 \( \mathcal{P}(\mathbb{N}) \) から実数全体 \( \mathbb{R} \) への全単射が存在します。
自然数、整数、有理数、素数全体の集合の間には全単射が存在します。
実数全体と複素数全体の集合の間には全単射が存在します。また、任意の開区間や閉区間と実数全体の間にも全単射が存在します。

全単射の性質

全単射には、以下のような重要な性質があります。

逆写像の存在: 写像 \( f: A \to B \) が全単射であるとき、その逆写像 \( f^{-1}: B \to A \) が必ず存在します。これは、全単射が一対一対応であるため、逆向きの対応も一意に定まるためです。
逆写像を持つことと同値: 写像が全単射であることと、その写像が逆写像を持つことは同値です。
合成写像: 二つの写像 \( f: A \to B \) と \( g: B \to C \) の合成写像 \( g \circ f: A \to C \) が全単射であるならば、 \( f \) は単射であり、 \( g \) は全射です。
全単射の合成: 二つの全単射を合成した写像もまた全単射になります。
置換群: 集合 \( X \) 上の全単射全体の集合 \( S_X \) は、写像の合成に関して群を成します。この群を \( X \) 上の置換群または対称群と呼びます。
同値関係: 「二つの集合の間に全単射が存在する」という関係は、集合全体のクラスにおいて同値関係を定義します。この同値関係によって、集合の濃度の概念が定義されます。つまり、全単射が存在する集合同士は、同じ濃度（基数）を持つとみなされます。
有限[[集合]]の場合: 有限[[集合]] \( X \) と \( Y \) の要素数が同じ場合、写像 \( f: X \to Y \) について、全単射であること、全射であること、単射であることは全て同値になります。

全単射の重要性

全単射は、数学の様々な分野で重要な役割を果たします。特に、集合の濃度を比較する際に、全単射の概念は不可欠です。例えば、無限集合の濃度を比較する際に、全単射を用いて集合の要素が同じように対応するかどうかを判断します。また、群論では、置換という全単射が基本的な概念として用いられます。

全単射は、数学的な構造を理解し、集合間の関係を明確にするための強力なツールと言えるでしょう。

関連項目

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0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6'>関数 (数学))
* MECE

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