トリリウムの定理

トリリウムの定理（内心傍心補題）

概要

トリリウムの定理は、別名「内心傍心補題」とも称される、幾何学における三角形の重要な定理です。この定理は、三角形の内心 (incenter)、特定の頂点に対応する傍心 (excenter)、そして三角形の外接円 (circumcircle) 上の特定の点との間に成り立つ、興味深い位置関係を示します。

具体的には、三角形ABCにおいて、内心をI、頂点Aに対する傍心をJとします。内心Iと頂点Aを結ぶ直線（この直線上に傍心Jも存在します）が、三角形ABCの外接円と点A以外の点Pで交わると仮定します。この設定の下で、定理は以下の主張を行います。

定理の主張

点I、頂点B、傍心J、および頂点Cの4つの点は、すべて点Pを中心とする同一円周上にあります。

これは、点Pからこれらの4点への距離が等しいことを意味します。

$$ \text{PB} = \text{PI} = \text{PC} = \text{PJ} $$

この等距離関係、特にPB=PI=PCの形が、三つ葉（トリリウム）に似ていることから、この名前が付いたとも言われます（名称の由来には諸説あります）。

証明の考え方

定理の証明は、主に三角形の性質、角度の関係、および円に関する性質を用いて構成されます。

1. PB = PC の証明:
点Pは外接円上にあり、かつ頂点Aの内角の二等分線上にあります。円の性質より、角の二等分線と円周の交点Pは、その角を挟む辺の対弦（BC）の垂直二等分線上に位置します。したがって、PB = PC が成り立ちます。

2. PB = PI の証明:
次に、三角形PBIが二等辺三角形（PB = PI）であることを示します。内心Iの性質（角の二等分線であること）および外接円上の点の性質（円周角）を利用して角度計算を行うと、三角形PBIにおいて底角である∠PIBと∠PBIが等しくなることが示されます。これにより、PB = PI が導かれます。

3. ∠JBI = 90° の証明:
点Iは∠ABCの内角の二等分線上にあり、傍心Jはそれに隣接する外角の二等分線上にあります。内角とその外角の二等分線は互いに直交するため、直線BIと直線BJは直交します。すなわち、∠JBI = 90° です。

4. PB = PJ の証明:
点Pは直線AJ（直線AI）上にあり、∠JBI = 90°です。直角三角形JBIに注目し、Pが斜辺IJ上にあることと、PB = PI（ステップ2より）であることを利用します。角度の関係を詳しく調べると、∠PJB と ∠PBJ が等しくなることが示されます。これにより、三角形PBJは二等辺三角形であり、PB = PJ が証明されます。

5. 結論:
ステップ1、2、4から得られた PB = PC、PB = PI、PB = PJ を合わせると、PB = PI = PC = PJ という等式が成立します。この等式は、点I, B, J, C が点Pを中心とする同一円周上にあることを明確に示しています。

一般化

三角形の内心1つと3つの傍心、合計4つの点に関する性質として、次のような一般的な事実が知られています。これらの4点の中から任意の2点を選んで結ぶ直線は、必ず三角形のいずれかの頂点を通ります。また、選ばれた2点を直径とする円は、三角形の残りの2つの頂点を通ります。

トリリウムの定理は、これらの点の複雑で美しい位置関係を示す、幾何学における重要な結果の一つです。

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