外接円

外接円 (Circumscribed Circle)

外接円（がいせつえん、英語: Circumscribed Circle）は、幾何学において、多角形の全ての頂点を通る円のことです。この円の中心を外心（がいしん、Circumcenter）、その半径を外接半径（がいせつはんけい、Circumradius）と呼びます。外接円を持つ多角形は、円に内接している多角形という意味で円内接多角形（えんないせつたかっけい、Inscribed Polygon）や、その頂点が同一円周上にあることから共円多角形（きょうえんたかっけい、Concyclic Polygon）とも称されます。

外接円の存在

全ての多角形に必ず外接円が存在するわけではありません。しかし、三角形、長方形、等脚台形、そして任意の正多角形など、特定の種類の多角形には必ず外接円が存在します。

これに似た概念として、多角形を完全に覆う最小の円である最小包含円（Minimum Bounding Circle）があります。最小包含円は任意の多角形に必ず一つ存在しますが、外接円とは異なり、その円周上に全ての頂点が乗る必要はありません。このため、外接円が存在する場合でも、最小包含円と一致しないことがあります。

三角形の外接円

全ての三角形には例外なく外接円が存在します。三角形の外心は、3つの辺それぞれの垂直二等分線が交わる点として特徴づけられます。外心から三角形の各頂点までの距離は等しく、これが外接半径となります。

外心の位置は、三角形の形状によって変わります。鋭角三角形の外心は三角形の内部に、鈍角三角形の外心は外部に位置します。直角三角形の場合、外心は斜辺のちょうど中点になります。

三角形の辺の長さと角の関係を示す正弦定理において、外接円の直径（外接半径の2倍）が登場します。すなわち、「辺の長さをその対角のサインで割った値」は、どの辺に対しても一定であり、この値が外接円の直径に等しいという重要な関係です。

また、三角形の外心、重心、垂心という3つの特別な点は、オイラー線と呼ばれる同一直線上に並ぶことが知られています。さらに、三角形のもう一つの重要な円である九点円の半径は、外接円の半径のちょうど半分になります。

過去には、三角形の外接円は航海において、方位磁針が使えない状況で六分儀を用いて船の位置を特定するために応用されたこともあります。

三角形の外接円や外心の正確な位置は、頂点の座標や辺の長さを用いて数式で記述することができます。外接半径も、三角形の辺の長さや面積、あるいは内接円の半径などを用いて計算することが可能です。

円に内接する四角形（共円四角形）

四角形が円に内接できるのは、その対角の和が180度となる場合に限られます。このような四角形を共円四角形と呼びます。長方形や等脚台形は共円四角形の例です。

共円四角形については、その辺の長さと対角線の長さに関するトレミーの定理「内接四角形の向かい合う辺の積の和は対角線の積に等しい」が成り立ちます。また、共円四角形の外接円の半径は、辺の長さから計算する公式が存在します（ブラーマグプタの公式など）。

外接円だけでなく内接円も持つ特別な四角形は双心四角形と呼ばれます。

一般的な共円多角形

任意の数の辺を持つ共円多角形にも、いくつかの興味深い性質があります。例えば、共円奇数角形において全ての角が等しいのは、その多角形が正多角形である場合に限られます。一方、共円偶数角形において全ての角が等しいのは、その辺の長さが交互に等しい場合に限られます。また、偶数 n を持つ共円 n-角形では、奇数番目の角の和と偶数番目の角の和が等しくなるという性質が成り立ちます。

関連項目

内接円
トレミーの定理
ブラーマグプタの公式
オイラー線
九点円
ユングの定理
レスターの定理
外接球面
* 三角形の中心

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