トレンド定常

トレンド定常の概念

トレンド定常（Trend Stationary）とは、時系列分析の一分野で用いられる概念であり、ある確率過程が潜在的なトレンドを取り除くことで、定常的な過程に変わる特性を示します。この状態にあると、時間の経過とともにデータの平均や分散などの統計的性質が変化せず、安定した振る舞いを示すことが可能です。

定義

トレンド定常にある確率過程 {Y} は、以下のように表されます。

Y_t = f(t) + e_t

ここで、t は時間を示し、f は実数の関数で、e は定常過程を意味します。この関数f(t)は、特定の時間点における確率過程のトレンド成分を示します。つまり、元のデータからこのトレンド部分を取り除くと残るのが、定常過程 e_t です。

単純な例

線形トレンドの分析

仮に変数 Y が次のように時間とともに変化すると考えます。

Y_t = a ⋅ t + b + e_t

ここで、a はトレンドの傾きを、b は截距を表し、e_t はホワイトノイズの形態を取っているとします。このモデルでは、線形回帰を使用して a と b を推定します。

推定された傾き a が有意に0から異なる場合、これは変数 Y が非定常であるとの証拠となります。推定残差は次のように表されます。

Ŷ_t = Y - ã ⋅ t - ḃ

もし残差が統計的に定常であることが確認できた場合、元のデータ {Y_t} はトレンド定常過程であると結論づけられます。

異なるトレンドのケース

指数成長トレンド

多くの経済データは、例えば国内総生産（GDP）など、指数的な成長パターンに従っています。このような場合は、次のようにモデル化できます。

GDP_t = B ⋅ e^(a t) ⋅ U_t

ここで U_t は定常的な誤差過程とします。この方程式から自然対数を取ることで、デトレンドを行うことができます。

ln GDP_t = ln B + a t + ln(U_t)

この形式は線形回帰と同様で、同じ分析手法を用いてデータを検証できます。

二次トレンド

トレンドが必ず線形や対数線形である必要はなく、二次トレンドのようにより複雑な形でも可能です。例えば、次の形で表現できます。

Y_t = a ⋅ t + c ⋅ t^2 + b + e_t

この場合も、残差が定常であることを確認できれば、その残差でデトレンドを行うことができます。

トレンド定常の変換

トレンド定常だけでなく、他のタイプの確率過程も定常過程に変換可能です。例えば、1次の単位根過程などは、特定の条件を満たすことで変換が行えます。

まとめ

トレンド定常は、データ分析や経済学において非常に重要な概念であり、時系列データの理解には欠かせません。適切なモデル化を行うことで、データの本質を見抜くことができます。

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