線形回帰

線形回帰の概要

線形回帰は、独立変数（説明変数）と従属変数（目的変数）の関係を線形モデルで表現する手法です。この方法は、データから得られる情報を基に、変数間の相関関係を定量的に評価することができます。特に、説明変数が1つの線形単回帰と、2つ以上の説明変数を含む線形重回帰に分けられます。基礎となる数式は、目的変数Yは説明変数とその係数の組み合わせ、さらに擾乱項εによって表現されます。

説明変数と目的変数

線形モデルでは、目的変数は次のように定義されます。

$$ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + ... + \beta_p X_p + \varepsilon $$

ここで、βは各説明変数の係数を示し、εは予測不能な要素と考えられます。線形回帰の強みは、未知のパラメーターに対して線形性を前提としているため、数値計算や統計的性質の把握が容易である点にあります。

用途

線形回帰は多岐にわたる実用的用途がありますが、主に以下の2つに分類されます。まず、観測されたデータを用いて予測やエラーの削減を行います。これは、収集した新たな説明変数の値から反応変数を評価するプロセスです。また、もう一つは説明変数の変動が応答変数に与える効果を取り扱い、関係性の強さを定量化することです。この分析によって、どの説明変数が重要であるかや、冗長な情報を含む変数を特定することが可能です。

フィッティング方法

線形回帰モデルは、最も一般的な最小二乗法を使用してフィッティングされます。これは、観測データとモデルから得られる予測値の誤差の二乗和を最小化する手法です。最小二乗法以外にも、最小絶対値法、リッジ回帰やラッソ回帰などの方法が利用されることがあります。これらは、ペナルティを加えたフィッティング手法で、モデルの過学習を防ぐ助けになります。

線形単回帰

線形単回帰は、最も基本的な形態の線形回帰であり、説明変数が1つだけで2つの回帰パラメータ（切片と傾き）を持ちます。このとき、最小二乗法を用いてパラメータの推定が行われます。

消失理論

カール・フリードリッヒ・ガウスが提唱した最小二乗法に基づく理論では、擾乱項の期待値が0であることや、各擾乱項が互いに無相関で等分散であることが前提とされています。これにより、推定されたパラメータが最良の線形不偏推定量となることが保証されます。

統計的検定

線形回帰分析においては、推定された回帰係数の有意性を検定することが重要です。これには、有意水準に応じた帰無仮説を設定し、t分布に基づいて統計量を算出します。信頼区間や予測区間を設定することにより、予測の信頼性も高めることができます。

このように、線形回帰はデータ分析の強力な手法であり、その適用範囲は広がっています。数理的な整合性を保ちながら、実際の問題解決に貢献することが期待されています。

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