トレース (体論)

トレースの概念と性質

体論において、トレース（trace）は有限次体拡大に関連する重要なマッピングの一つで、特に代数的構造の分析において欠かせない役割を果たします。この写像は、体 L から体 K への K-線型写像として定義され、体の拡張における変換の計算や、特に代数閉包との関係を考える上で貴重です。

トレースの定義

有限拡大 L/K において、L の分離次数を [L : K]s = r とします。L を K の代数閉包 Ka に埋め込むばらばらの K-埋め込み σ1, σ2, ..., σr を考えます。ここで、L 内の元 α のトレース TrL/K(α) は次のように定義されます。

$$
Tr_{L/K}(eta) = [L : K]_{i} imes ext{sum}_{
u=1}^{r} au_{
u} eta
$$

この式における [L : K]i は非分離次数を表します。もしも L/K が非分離拡大である場合、トレースはゼロになります。一方、分離拡大やガロワ拡大の場合、トレースは次のようにシンプルな形になります。

$$
Tr_{L/K}(eta) = ext{sum}_{
u=1}^{r} au_{
u} eta
$$

また、L を K-ベクトル空間としてみたときに、元 α に対して L の元を α 倍する形で定義された写像 L → L は、K-線型性を担持し、基底を選ぶことにより行列として表現可能です。この行列自身のトレースは、明示的に TrL/K(α) と一致します。興味深いのは、このトレースは基底の選択に依存しない性質を持つという点です。

トレースの主要な性質

トレース写像は、L から K への小さな写像としても機能します。さらに、体拡大の列 L ⊃ M ⊃ K に対して、次の重要な関係式が成り立ちます：

$$
Tr_{L/K} = Tr_{M/K} ext{ compose } Tr_{L/M}
$$

これは、トレースが体系的に体の拡大に対してどのように構成されるかを示す、非常に便利な性質です。さらに、L = K(α) の特別なケースでは、α の K における最小多項式を考慮し、トレースの具体的な値を求めることができます。

具体的には、最小多項式が X^r + a_{r-1}X^{r-1} + ... + a_0 であるとすると、次のように表されます：

$$
Tr_{K(α)/K} = -a_{r-1}
$$

これは、体の特性と多項式の関係を考慮する際に、非常に有用な結果をもたらします。更に、有限次分離拡大においては、基底 e1, ..., er を選ぶことができ、この基底に対してトレースの一般的な性質、すなわち、互いに独立な基底が相互作用する様子が示される場合があります。具体的には、特定の基底 e'1, ..., e'r が存在して、以下の関係式を満たします：

$$
Tr_{L/K}(e_{i}e'_{j}) = egin{cases}1 & (i=j) \ 0 & (i
eq j) ext{。} \\ ext{end}
$$

これはトレースが体の拡張において独立な基底間での対称性を持っていることを物語っています。

結論

トレースは体論における非常に重要な概念であり、有限次体拡大におり多くの利点をもたらし、代数的構造や多項式の性質を理解する上で欠かせないツールです。また、この性質を利用することで、数学的な概念がどのようにして相互に関連し、構成されているのかを深く探究することが可能となります。

もう一度検索