有限拡大

有限拡大 (Finite Extension)

体論において、体 $K$ の拡大体 $L$ が与えられたとき、$L$ を $K$ 上のベクトル空間とみなすことができます。このベクトル空間としての次元が有限である場合、この体の拡大 $L/K$ を有限拡大と呼びます。

有限拡大におけるベクトル空間としての次元は、拡大の次数と呼ばれ、$ [L:K] $ と表記されます。したがって、有限拡大は「次数有限の拡大」とも言えます。特に、有限拡大は常に代数的拡大であることが知られています。つまり、$L$ の任意の元は、$K$ 上代数的（ある $K$ 係数多項式の根）となります。

重要性と動機

体論、特にガロワ理論において、有限拡大は中心的な研究対象です。線型代数学において有限次元ベクトル空間が扱いやすいのと同様に、体論においても有限拡大は無限拡大に比べて解析が容易であるという利点があります。多くの重要な定理が有限拡大の枠組みで成立します。

例えば、有理数体 $\mathbb{Q}$ の有限拡大である代数体は、すべて一つの元で生成される単拡大である（原始元の定理）など、有限拡大に関する強力な結果が数多く知られています。ガロワ理論の創始者エヴァリスト・ガロワ自身も、多項式方程式の解法に関する理論を展開する際に、有限拡大の考え方を用いていました。これにより、代数方程式が根の公式を持つための条件を与えるアーベル・ルフィニの定理などを厳密に扱うことができるようになりました。

また、古代ギリシャからの未解決問題であった「立方体倍積問題」や「角の三等分問題」、あるいは「定規とコンパスで作図可能な正多角形の分類」といった幾何学的な問題も、19世紀にピエール＝ローラン・ワントゼルによって有限拡大の理論を用いて解決されました。さらに、エルンスト・クンマーによるフェルマーの最終定理の部分的な証明など、数論における多くの応用も有限拡大の概念に基づいています。

今日でも、与えられた有限群をガロワ群として持つ多項式を見つける「逆ガロワ理論」のように、有限拡大に関連する未解決の研究領域が存在します。

一方で、フェルディナント・フォン・リンデマンによる円周率 $\pi$ が $\mathbb{Q}$ 上の有限拡大に含まれないことの証明（円積問題の否定）や、デイヴィッド・ヒルベルトに始まり本質的に無限拡大を扱う類体論など、無限拡大が重要な役割を果たす数学分野も存在します。

有限拡大の例と性質

有限拡大には以下のような基本的な例や性質があります。

ある体 $K$ 上の既約多項式の根を含む最小の体である根体（単純拡大のうち代数的なもの）は有限拡大です。
有限拡大 $L/K$ の任意の部分拡大 $M$ （$K \subseteq M \subseteq L$ となる体 $M$）もまた有限拡大です。
体の拡大が連鎖している場合、つまり $H \subseteq K \subseteq L$ で $L/K$ および $K/H$ がともに有限拡大であれば、$L/H$ も有限拡大となります。このとき、拡大の次数には $[L:H] = [L:K] [K:H]$ という関係が成り立ちます。
任意の非零多項式の分解体（その多項式の根をすべて含む最小の拡大体）は有限拡大です。
逆に、体 $K$ のすべての有限拡大は、ある非零多項式の分解体の部分拡大として得られます。
特にガロワ拡大の場合、拡大 $L/K$ が有限拡大であることと、そのガロワ群 $Gal(L/K)$ が有限群であることは同値です。このとき、拡大の次数 $[L:K]$ はガロワ群の位数 $|Gal(L/K)|$ に等しくなります。

構造

一般に、体 $K$ の有限拡大 $L$ は、ある中間体 $E$ を介して、有限純非分離拡大 $L/E$ と有限分離拡大 $E/K$ の合成として一意的に分解することができます。

有限拡大でない例（反例）

代数拡大であっても有限拡大でないものが存在します。例えば、有理数体 $\mathbb{Q}$ の代数的閉包 $\overline{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{Q}$ 上代数的ですが、その次元は無限大です。
有限体の代数的閉包も無限拡大となります。
有理数体 $\mathbb{Q}$ の「2次閉包」のような他の閉包も一般に有限拡大ではありません。
超越拡大（代数的でない元を含む拡大）は、その定義から必ず無限拡大であり、有限拡大となることはありません。

これらの概念は、抽象代数学や数論のさまざまな分野で基礎となります。

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