ドラゴン曲線

ドラゴン曲線は、L-システム（リンデンマイヤー・システム）や反復関数系（IFS）といった再帰的な計算方法を用いて描かれる、自己相似性を持つフラクタル図形の総称です。様々な種類が存在しますが、最もよく知られているのはヘイウェイ・ドラゴンです。

ヘイウェイ・ドラゴン

この曲線は、1960年代後半にNASAの物理学者ジョン・ヘイウェイ、ブルース・バンクス、ウィリアム・ハーターらが研究を始め、1967年に雑誌『サイエンティフィック・アメリカン』の数学コラム「数学ゲーム」でマーティン・ガードナーによって広く紹介されました。その後、チャンドラー・デイビスとドナルド・クヌースがその数学的性質を詳しく分析・発表しています。さらに、マイケル・クライトンのベストセラー小説『ジュラシック・パーク』の各章の扉ページに描かれたことでも知られています。

構成方法

ヘイウェイ・ドラゴンはいくつかの方法で生成できます。

1. L-システム: 90度の基本角度、初期文字列 "FX"、そして以下の書き換え規則（XをX+YF+に、Yを−FX−Yに置換）に従って、文字列を再帰的に展開し、その命令通りに線を引くことで得られます。
角度: 90°
初期文字列: FX
規則: X → X+YF+, Y → −FX−Y
ここで、Fは「進む」、+は「右に曲がる」、−は「左に曲がる」といった描画命令に対応します。
2. 幾何学的再帰: 一本の線分から開始し、その線分を直角に曲がった二つの短い線分で置き換える操作を繰り返します。このとき、曲がる方向を右、左、右、左…と交互にすることで、複雑な形状が現れます。
3. 反復関数系（IFS）: 複素平面上の二つの縮小写像関数を繰り返し適用することによっても、ヘイウェイ・ドラゴンは生成されます。初期点は{0, 1}などから始めます。
`f₁(z) = (1+i)z / 2`
`f₂(z) = 1 - (1-i)z / 2`
これらの関数を繰り返し適用することで、ドラゴン曲線の点集合が得られます。実数の座標ペアを用いた同等の表現も存在し、フラクタル生成ソフトウェアでよく利用されます。

性質

ヘイウェイ・ドラゴンは、その複雑な見た目とは裏腹に、興味深い単純な性質をいくつか持ちます。

面積: 初期線分の長さを1とすると、曲線が囲む領域の面積は1/2となります。これは、自己相似的な構造が平面を隙間なく、かつ重なりなく埋め尽くしていく（タイル張り可能な）性質に起因します。
境界の長さ: 反復のたびに曲線全体の長さは約√2倍に増加するため、極限における境界の長さは無限大となります。
自己無交差: どんなに拡大しても、曲線自身が自分と交わることはありません。
自己相似性: 全体の構造の中に、45度傾いて√2倍に縮小された自分自身のコピーが多数含まれています。
フラクタル次元: 曲線全体のハウスドルフ次元はln(2)/ln(√2) = 2となり、平面（2次元空間）を完全に埋め尽くす、いわゆる「空間充填曲線」であることを意味します。一方、曲線の「境界」部分のフラクタル次元は約1.5236という非整数値であり、境界は無限に複雑であることが示唆されます。

多項式との関連

ドラゴン曲線は、数学のある種の多項式とも関連があります。係数が1または-1である「リトルウッド多項式」と呼ばれる多項式群を考え、特定の関数系を繰り返し適用することで、これらの多項式をある複素数wで評価した点が得られます。興味深いことに、w=(1+i)/2とした場合の関数系は、ヘイウェイ・ドラゴンのIFSと一致します。すなわち、ヘイウェイ・ドラゴンは、w=(1+i)/2におけるリトルウッド多項式の評価点全体を表す集合と解釈できます。実際にリトルウッド多項式の根を多数プロットすると、その分布がドラゴン曲線に似た構造を示すことが観察されています。

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