ドロネー図
ドロネー図（Delaunay diagram）は、空間内に離散的に存在する点の集合に対して、特定の規則に基づいて点を結んで形成される図形です。特に、ドロネー三角形分割（Delaunay triangulation）は、その中でも重要な概念の一つであり、計算幾何学や離散幾何学における中心的な研究対象となっています。
この図形の名前は、ロシアの数学者ボリス・ドロネー（Boris Nikolaevich Delaunay）に由来します。ドロネー図は、ボロノイ図と密接な関係にあり、ボロノイ図の双対として理解することができます。具体的には、ボロノイ図の各領域（ボロノイ領域）に対応する点（母点）を特定し、隣接するボロノイ領域の母点同士を結ぶことでドロネー図が生成されます。この時、母点をドロネー点、結ぶ線分をドロネー辺と呼びます。
特に二次元のドロネー図の場合、ドロネー点とドロネー辺によって多角形（ドロネー多角形）が形成されます。一般的には、この多角形は三角形となり、平面全体がドロネー三角形の集合に分割されることになります。この分割をドロネー三角形分割と呼びます。もし、特殊なケースで三角形にならない場合には、母点を適切に選択することで三角形分割を達成することが可能です。また、この概念は次元を上げて考えることもでき、高次元空間でのドロネー単体分割も同様に定義することができます。
ドロネー図の作成プロセス
1. ボロノイ図の準備: まず、与えられた点集合に対するボロノイ図を生成します。
2. 母点の特定: ボロノイ図の各ボロノイ領域に、対応する母点を一つずつ特定します。
3. 隣接関係の確認: 隣接するボロノイ領域を特定します。
4. ドロネー辺の生成: 隣接するボロノイ領域に対応する母点同士を線分で結びます。これにより、ドロネー図が形成されます。
5. ドロネー三角形の作成: 二次元の場合、ほとんどのケースで、ドロネー点は三角形を形成します。
ドロネー図とボロノイ図の関係性は、双対性という概念で捉えられます。これは、ある図形から別の図形を生成する関係であり、ドロネー図はボロノイ図の隣接情報を表現します。
ドロネー図の応用例
メッシュ生成: 有限要素法などの数値解析で用いられるメッシュ生成において、ドロネー三角形分割は高品質なメッシュを生成するために利用されます。
地理情報システム: 地理的なデータの分析やモデリングにおいて、ドロネー図は様々な応用があります。例えば、近傍探索や空間的な関係性の分析に役立ちます。
コンピュータグラフィックス: 3Dモデリングやレンダリングにおいて、ドロネー図は曲面の表現やメッシュの生成に利用されます。
データ解析: データポイント間の関係性を視覚化する際に、ドロネー図は有効な手法となります。
参考文献
以下にドロネー図に関する主要な参考文献をまとめます。
英文
Shewchuk, J.; Dey, T. K.; Cheng, S. W. (2016). Delaunay mesh generation. Chapman and Hall/CRC.
Si, Hang (2015). “TetGen, a Delaunay-based quality tetrahedral mesh generator.” ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 41(2), 1-36.
Du, Q.; Wang, D. (2006). “Recent progress in robust and quality Delaunay mesh generation.” Journal of Computational and Applied Mathematics, 195(1-2), 8-23.
Shewchuk, J. R. (2002). Delaunay refinement algorithms for triangular mesh generation. 22, 21-74.
Shewchuk, Jonathan Richard (1997). Delaunay refinement mesh generation. Carnegie-Mellon Univ Pittsburgh Pa School of Computer Science, Ph.D. Thesis.
和文
杉原厚吉 (2013). 計算幾何学. 朝倉書店.
浅野哲夫 (2007). 計算幾何: 理論の基礎から実装まで. 共立出版.
杉原厚吉 (1998). FORTRAN 計算幾何プログラミング. 岩波書店.
谷口健男 (1992). FEMのための要素自動分割：デローニー三角分割法の利用. 森北出版.
谷口健男、森脇清明 (2006). 3次元FEMのための自動要素分割法. 森北出版.
これらの文献は、ドロネー図の理論的な背景から実装方法、具体的な応用例まで幅広くカバーしています。
ドロネー図は、様々な分野で活用されており、その重要性は増しています。この図形を理解することは、計算幾何学だけでなく、データ解析やモデリングの分野においても非常に有益であると言えるでしょう。
この図形の名前は、ロシアの数学者ボリス・ドロネー（Boris Nikolaevich Delaunay）に由来します。ドロネー図は、ボロノイ図と密接な関係にあり、ボロノイ図の双対として理解することができます。具体的には、ボロノイ図の各領域（ボロノイ領域）に対応する点（母点）を特定し、隣接するボロノイ領域の母点同士を結ぶことでドロネー図が生成されます。この時、母点をドロネー点、結ぶ線分をドロネー辺と呼びます。
特に二次元のドロネー図の場合、ドロネー点とドロネー辺によって多角形（ドロネー多角形）が形成されます。一般的には、この多角形は三角形となり、平面全体がドロネー三角形の集合に分割されることになります。この分割をドロネー三角形分割と呼びます。もし、特殊なケースで三角形にならない場合には、母点を適切に選択することで三角形分割を達成することが可能です。また、この概念は次元を上げて考えることもでき、高次元空間でのドロネー単体分割も同様に定義することができます。
ドロネー図の作成プロセス
1. ボロノイ図の準備: まず、与えられた点集合に対するボロノイ図を生成します。
2. 母点の特定: ボロノイ図の各ボロノイ領域に、対応する母点を一つずつ特定します。
3. 隣接関係の確認: 隣接するボロノイ領域を特定します。
4. ドロネー辺の生成: 隣接するボロノイ領域に対応する母点同士を線分で結びます。これにより、ドロネー図が形成されます。
5. ドロネー三角形の作成: 二次元の場合、ほとんどのケースで、ドロネー点は三角形を形成します。
ドロネー図とボロノイ図の関係性は、双対性という概念で捉えられます。これは、ある図形から別の図形を生成する関係であり、ドロネー図はボロノイ図の隣接情報を表現します。
ドロネー図の応用例
メッシュ生成: 有限要素法などの数値解析で用いられるメッシュ生成において、ドロネー三角形分割は高品質なメッシュを生成するために利用されます。
地理情報システム: 地理的なデータの分析やモデリングにおいて、ドロネー図は様々な応用があります。例えば、近傍探索や空間的な関係性の分析に役立ちます。
コンピュータグラフィックス: 3Dモデリングやレンダリングにおいて、ドロネー図は曲面の表現やメッシュの生成に利用されます。
データ解析: データポイント間の関係性を視覚化する際に、ドロネー図は有効な手法となります。
参考文献
以下にドロネー図に関する主要な参考文献をまとめます。
英文
Shewchuk, J.; Dey, T. K.; Cheng, S. W. (2016). Delaunay mesh generation. Chapman and Hall/CRC.
Si, Hang (2015). “TetGen, a Delaunay-based quality tetrahedral mesh generator.” ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 41(2), 1-36.
Du, Q.; Wang, D. (2006). “Recent progress in robust and quality Delaunay mesh generation.” Journal of Computational and Applied Mathematics, 195(1-2), 8-23.
Shewchuk, J. R. (2002). Delaunay refinement algorithms for triangular mesh generation. 22, 21-74.
Shewchuk, Jonathan Richard (1997). Delaunay refinement mesh generation. Carnegie-Mellon Univ Pittsburgh Pa School of Computer Science, Ph.D. Thesis.
和文
杉原厚吉 (2013). 計算幾何学. 朝倉書店.
浅野哲夫 (2007). 計算幾何: 理論の基礎から実装まで. 共立出版.
杉原厚吉 (1998). FORTRAN 計算幾何プログラミング. 岩波書店.
谷口健男 (1992). FEMのための要素自動分割：デローニー三角分割法の利用. 森北出版.
谷口健男、森脇清明 (2006). 3次元FEMのための自動要素分割法. 森北出版.
これらの文献は、ドロネー図の理論的な背景から実装方法、具体的な応用例まで幅広くカバーしています。
ドロネー図は、様々な分野で活用されており、その重要性は増しています。この図形を理解することは、計算幾何学だけでなく、データ解析やモデリングの分野においても非常に有益であると言えるでしょう。
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