ナッシュの埋め込み定理

ナッシュの埋め込み定理

ナッシュの埋め込み定理は、数学者ジョン・フォーブス・ナッシュによって提唱された、幾何学における重要な定理です。この定理が示す核心は、どのようなリーマン多様体であっても、適切な次元のユークリッド空間内に、その測地的な性質（長さや角度）を全く変えずに埋め込むことが可能であるという点にあります。

「等長に埋め込む」という表現は、非常に重要です。これは、多様体上に描かれた任意の曲線の長さが、それをユークリッド空間に埋め込んだ後も完全に保たれることを意味します。例えば、一枚の紙を破ったり引き伸ばしたりせずに折り曲げても、紙の上に描かれた線分の長さは変わりません。これは、紙の平面を三次元ユークリッド空間に等長に埋め込む行為に例えることができます。

この定理には、その滑らかさの度合いによって主に二つのバージョンがあります。

C¹級埋め込み定理 (ナッシュ・クーパーの定理)

一つ目のバージョンは、C¹級、すなわち連続微分可能な埋め込みに関するものです。この定理は比較的容易に証明でき、ジョン・ナッシュが1954年に発表しました。後にニコラス・クーパーによって条件が少し緩和され、現在ではナッシュ・クーパーの定理とも呼ばれます。

この定理は、任意のm次元リーマン多様体に対して、m+1次元（あるいはm+2次元）以上のユークリッド空間へのC¹級の等長埋め込みが存在することを示します。驚くべきことに、この定理は非常に直感に反する結果を多く導きます。例えば、任意のコンパクトな閉じたリーマン面（ドーナツの表面のような形に計量が入ったもの）は、たとえガウス曲率が正であったとしても、3次元ユークリッド空間中のいくらでも小さい球体の中にC¹級に等長に埋め込むことができます。また、双曲平面のような負のガウス曲率を持つ空間でさえ、3次元ユークリッド空間へC¹級に等長に埋め込めることがこの定理から導かれます。しかし、より滑らかなC²級の埋め込みでは、ガウス曲率が局所的に制限されるため、このような反直感的な現象は起こりません。

Cᵏ級および解析的埋め込み定理

二つ目のバージョンは、より高い滑らかさを持つCᵏ級（k ≥ 3）および解析的な埋め込みに関するものです。ナッシュは1956年にCᵏ級の場合を、1966年には解析的な場合にも取り組みました（解析的な場合の議論は後に簡素化されました）。

こちらの定理は、与えられたm次元リーマン多様体に対して、ある十分高い次元nのユークリッド空間へのCᵏ級または解析的な等長埋め込みが存在することを示します。必要なユークリッド空間の次元はC¹級の場合よりもはるかに大きくなる可能性があります。

C¹級定理の証明が比較的容易であるのに対し、このCᵏ級/解析的定理の証明は非常に技巧的です。これは、等長埋め込みの条件が偏微分方程式の複雑な非決定系として定式化されるためです。

ナッシュによるオリジナルの証明は、標準的なニュートン法をこの非線形偏微分方程式系に適用する際に生じる収束の問題を克服するために、畳み込みを用いたスムージング作用素を導入するという革新的な手法を用いています。この手法は後に、h-原理やナッシュ・モーザーの陰関数定理といった、数学の他の分野にも影響を与える重要な概念へと発展しました。ギュンターは後に、この定理に対する別の簡素化された証明を与えました。

これらの定理は、多様体の限られた範囲ではなく、多様体全体をユークリッド空間に埋め込むという点で「大域的」な結果です。これに対し、多様体の小さな領域をユークリッド空間に埋め込む「局所的」な埋め込み定理は、1920年代にエリ・カルタンとモーリス・ジャネによって既に証明されており、解析的な陰関数定理などの比較的標準的なツールで扱うことができます。

ナッシュの埋め込み定理は、リーマン多様体という抽象的な概念が、より具体的で扱いやすいユークリッド空間の中で実現できることを示す fundamental な結果であり、微分幾何学において非常に深い洞察を与えるものです。

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