ユークリッド空間

ユークリッド空間：幾何学の基礎

ユークリッド空間は、数学における基本的な概念の一つであり、私たちの直感的な空間認識の基礎となっています。ユークリッド[[幾何学]]の舞台となる空間で、平面や空間をさらに高次元へと拡張したものです。古くは、ユークリッドが幾何学の研究で扱った平面や空間を、それぞれ2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間と呼びます。これらの空間は「ユークリッド的」と形容され、非ユークリッド[[幾何学]]や相対性理論で扱われるような曲がった空間とは対照的です。

古典的定義と現代的定義

古典的なギリシャ数学では、ユークリッド空間は幾何学的な公準から定義され、そこから様々な性質が導かれていました。しかし、現代[[数学]]では、デカルト座標系と解析幾何学の考え方を用いた定義が一般的です。この方法では、代[[数学]]や解析学の手法を幾何学の問題に適用できるようになり、3次元以上の高次元ユークリッド空間への一般化も容易になります。

現代的な視点では、各次元において本質的にただ一つのユークリッド空間が存在すると考えられています。たとえば、1次元ユークリッド空間は実数直線、2次元ユークリッド空間はデカルト平面であり、高次元では実数の組を座標とする実座標空間となります。ユークリッド空間の「点」は実数の組であり、二点間の距離は距離の公式で定義されます。n次元ユークリッド空間は、しばしばRⁿと表記されますが、ユークリッド空間固有の性質を強調するためにEⁿと表記されることもあります。一般的に、ユークリッド空間といえば有限次元の場合を指します。

直観的な理解

ユークリッド平面を理解する一つの方法は、距離や角度といった関係を満たす点集合と捉えることです。平面上には、平行移動（平面全体を同じ方向へ同じ距離だけ動かす操作）と回転（平面上の点をある点を中心に同じ角度だけ回転させる操作）という二種類の基本操作があります。ユークリッド[[幾何学]]では、平行移動、回転、鏡映などの操作で互いに重ね合わせることができる図形は合同であると定義されます。

これらの概念を数学的に厳密に扱うには、距離、角度、平行移動、回転などを厳密に定義する必要があります。標準的な方法は、ユークリッド平面を内積を備えた2次元実ベクトル空間として定義することです。これにより、平面上の点は2次元ベクトルに対応し、平行移動はベクトルの加法に対応し、回転や距離は内積から導き出されます。この方法でユークリッド平面を定義すると、高次元への拡張も容易になります。高次元空間の可視化は難しいですが、多くの概念や公式は次元に関わらず同様の形式で表現できます。

ただし、厳密にはユークリッド空間はベクトル空間ではなく、アフィン空間であると考える必要があります。アフィン空間では原点の位置は固定されていません。しかし、多くの場合、この違いを無視しても問題ありません。

厳密な定義

n次元ユークリッド空間Eⁿは、空でない集合Sとn次元実内積空間Vの組(S, V)で、以下の条件を満たすものです。

1. Sの任意の二点P、Qに対して、Vのベクトル PQ→ が一意に定まる。
2. Sの任意の三点P、Q、Rに対して、PQ→ + QR→ = PR→ が成り立つ。
3. Sの任意の点PとVの任意のベクトルvに対して、v = PQ→ となるSの点Qが一意に存在する。

n次元ユークリッド空間は、標準的なモデルとしてRⁿ（標準内積を持つ実数n次元ベクトル空間）を用いることができます。Rⁿの二点x、y間の距離は、ユークリッド距離として定義されます。直交座標系を導入することで、ユークリッド空間の点はRⁿのベクトルと同一視できます。

ユークリッド空間の計量と幾何学的概念

ユークリッド空間では、内積を用いて距離や角度を定義できます。二点間の距離は、対応するベクトルのノルム（大きさ）として定義されます。角度は、ベクトルの内積とノルムを用いた公式から算出されます。これにより、ユークリッド空間において直線、平面、線分、角度といった幾何学的概念を定義できます。

部分空間

n次元ユークリッド空間の部分集合で、ある点PとVの部分空間Wを用いて、T = {Q∈S | PQ→∈W}と表せるものをr次元部分空間と呼びます。特に、1次元部分空間を直線、2次元部分空間を平面と呼びます。

位相的性質、微分構造、一般化

ユークリッド空間は距離空間であるため、距離から誘導される位相構造を持ちます。ユークリッド空間の位相的性質、例えば連結性やコンパクト性などは重要な研究対象です。また、ユークリッド空間は微分可能多様体としても捉えることができ、微分幾何学の研究対象となります。4次元ユークリッド空間を除き、異なる可微分構造を持つユークリッド空間と同相な多様体が存在することが知られています。

ユークリッド空間は、より複雑な幾何学的対象の原型であり、微分多様体やリーマン多様体の定義において重要な役割を果たしています。リーマン多様体は、局所的にユークリッド空間に似ていますが、曲率を持つこともあります。相対性理論では、時空を擬ユークリッド空間というユークリッド空間の類似物でモデル化します。

まとめ

ユークリッド空間は、幾何学の基礎となる重要な概念です。その厳密な定義と、距離や角度といった幾何学的概念の導入により、ユークリッド[[幾何学]]だけでなく、解析学、微分幾何学、そして物理学など様々な分野で重要な役割を果たしています。様々な一般化や拡張もなされており、現代[[数学]]においてもその重要性は揺るぎないものです。

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