ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題とは

ナビエ–ストークス方程式は、流体（液体や気体）の運動を記述する偏微分方程式です。この方程式は、工学や科学の幅広い分野で応用されていますが、その数学的な性質は完全には解明されていません。特に、3次元空間におけるナビエ–ストークス方程式の解が、初期条件が与えられた際に常に滑らかに存在するかどうか、そしてその解が質量あたり有限のエネルギーを持つかという問題は、数学的に未解決のままです。

この問題は「解の存在と滑らかさ」と呼ばれ、乱流現象の理解にも繋がる重要な課題です。乱流は、科学や工学において非常に重要な現象であるにもかかわらず、物理学における最も難しい未解決問題の一つです。ナビエ–ストークス方程式の解の基本的な性質さえ証明されていない現状が、この問題の難しさを物語っています。

クレイ数学研究所は、この問題を数学の7つのミレニアム懸賞問題の一つに選定し、最初に解いた人に100万ドルの賞金を出すことを発表しました。これは、この問題が数学界においてどれほど重要で難解であるかを示しています。

ナビエ–ストークス方程式

数学的には、ナビエ–ストークス方程式は、抽象的なベクトル場の非線形偏微分方程式系です。物理学や工学では、非圧縮性の流体（主に液体や気体）の運動をモデル化した方程式として用いられます。この方程式は、ニュートンの第二法則に基づき、流体内の圧力、粘性応力、および外部からの力の寄与を考慮しています。

クレイ数学研究所が提起している問題は、3次元非圧縮性等質流体を対象としており、以下の式で表されます。

math
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot
abla)\mathbf{v} = -
abla p +
u \Delta \mathbf{v} + \mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)


ここで、

`v(x,t)` は流体の速度を表す3次元ベクトル場
`p(x,t)` は流体の圧力を表すスカラー場
`ν` は動粘性係数
`f(x,t)` は外力を表すベクトル場
`∇` は勾配演算子
`Δ` はラプラス演算子

この方程式はベクトル方程式であり、実際には3つのスカラー方程式から構成されます。速度と外力を成分で表すと、

math
\mathbf{v}({\boldsymbol x}, t) = (v_1({\boldsymbol x}, t), v_2({\boldsymbol x}, t), v_3({\boldsymbol x}, t))
\mathbf{f}({\boldsymbol x}, t) = (f_1({\boldsymbol x}, t), f_2({\boldsymbol x}, t), f_3({\boldsymbol x}, t))


となり、各成分について以下のスカラー方程式が成立します。

math
\frac{\partial v_i}{\partial t} + \sum_{j=1}^{3} v_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j} = -\frac{\partial p}{\partial x_i} +
u \sum_{j=1}^{3} \frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2} + f_i({\boldsymbol x}, t)


この方程式には、速度 `v(x,t)` と圧力 `p(x,t)` という未知数が含まれています。3次元の場合、方程式の数（3つ）よりも未知数の数（4つ）が多いため、補助方程式が必要です。この補助方程式として、流体の非圧縮性を表す連続の方程式が用いられます。

math

abla \cdot \mathbf{v} = 0


この方程式により、解は「発散のない」関数の集合の中に探索できます。また、圧力 `p` は、ナビエ–ストークス方程式に回転演算子(rot)を適用することで省略できます。これにより、方程式は渦輸送方程式に還元されます。2次元の場合、これらの式は既によく知られています。

問題の設定：非有界空間と周期空間

ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさに関する100万ドルの懸賞金問題には、二つの異なる設定があります。一つは、空間全体 `R^3` における問題であり、初期値と解の増大度に関する条件を必要とします。もう一つは、無限遠点での問題を回避するために、ナビエ–ストークス方程式を周期的な枠組みで設定するものであり、この場合、問題は `R^3` ではなく、3次元トーラス `T^3 = R^3 / Z^3` 上で考えられます。以下、これらの設定を個別に解説します。

全空間での問題

全空間 `R^3` におけるナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題を考える際には、初期条件と解の増大度について、以下の前提条件が設けられます。

前提条件と増大条件

初期条件 `v0(x)` は滑らかで、発散のない関数であること。
任意の多重指数 `α` と `K>0` に対して、定数 `C=C(α,K)>0` が存在し、すべての `x∈R^3` に対して、

math
|\partial^\alpha \mathbf{v_0}(x)| ≤ \frac{C}{(1 + |x|)^K}

が成立すること。
外力 `f(x,t)` も同様に滑らかで、同様の不等式を満たすこと。つまり、すべての `(x,t) ∈ R^3 × [0, ∞)` に対して、

math
|\partial^\alpha \mathbf{f}(x,t)| ≤ \frac{C}{(1 + |x| + t)^K}

が成立すること。
解は、`|x| → ∞` で増大しない滑らかな関数であること。具体的には、

math
\mathbf{v}(x,t) ∈ [C^∞(R^3 × [0, ∞))]^3
\qquad p(x,t) ∈ C^∞(R^3 × [0, ∞))

を満たすこと。
ある定数 `E∈(0,∞)` が存在し、すべての `t ≥ 0` に対して、

math
\int_{R^3} |\mathbf{v}(x,t)|^2 dx < E

が成立すること。

これらの条件は、解が滑らかで大域的に定義されていること、および解の運動エネルギーが有界であることを意味します。

全空間での予想

全空間 `R^3` でのナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題には、以下の二つの予想があります。

(A) 解の存在と滑らかさ:
外力 `f(x,t) ≡ 0` とし、上記前提条件を満たす初期条件 `v0(x)` に対して、滑らかで大域的に定義されたナビエ–ストークス方程式の解が存在する。つまり、速度ベクトル `v(x,t)` と圧力 `p(x,t)` が存在し、上記の条件1と2を満たす。

(B) 解が存在しない場合:
上記条件1と2を満たす解 `v(x,t)` と `p(x,t)` が存在しないような初期条件 `v0(x)` と外力 `f(x,t)` が存在する。

周期的な空間での問題

次に、周期的な空間（3次元トーラス `T^3`）での問題を考えます。ここでは、問題の関数が周期1の空間変数の周期性を持つと仮定します。

前提条件

速度ベクトル `v(x,t)` は、すべての `i = 1, 2, 3` に対して、`v(x + ei, t) = v(x, t)` を満たす周期関数である。ここで、`ei` はi方向の単位ベクトルである。
初期条件 `v0(x)` は滑らかで発散のない関数である。
外力 `f(x,t)` も同様に滑らかである。
解は以下の条件を満たす。

math
\mathbf{v}(x,t) ∈ [C^∞(T^3 × [0, ∞))]^3
\qquad p(x,t) ∈ C^∞(T^3 × [0, ∞))

ある定数 `E∈(0,∞)` が存在し、すべての `t ≥ 0` に対して、

math
\int_{T^3} |\mathbf{v}(x,t)|^2 dx < E

が成立する。

これらの条件は、全空間の場合と同様に、解が滑らかで大域的に定義されていること、および解の運動エネルギーが有界であることを意味します。

周期的な場合の問題

周期的な空間 `T^3` でのナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題には、以下の二つの予想があります。

(C) 解の存在と滑らかさ:
外力 `f(x,t) ≡ 0` とし、上記の前提条件を満たす初期条件 `v0(x)` に対して、滑らかで大域的に定義されたナビエ–ストークス方程式の解が存在する。つまり、速度ベクトル `v(x,t)` と圧力 `p(x,t)` が存在し、上記の条件3と4を満たす。

(D) 解が存在しない場合:
上記条件3と4を満たす解 `v(x,t)` と `p(x,t)` が存在しないような初期条件 `v0(x)` と外力 `f(x,t)` が存在する。

部分的な結果

1960年代以降、2次元のナビエ–ストークス方程式問題は解決済みであり、滑らかな大域的に定義された解が存在することが証明されています。
初期速度 `v(x,t)` が十分に小さい場合は、予想が正しく、滑らかで大域的に定義された解が存在します。
初期速度 `v0(x)` が与えられた場合、`v0(x)` に依存する有限時間Tが存在し、`R^3 × (0,T)` 上のナビエ–ストークス方程式には滑らかな解 `v(x,t)` と `p(x,t)` が存在します。しかし、「爆発時間」Tを超えて解が存在するかどうかは未解決です。
1934年、ジャン・ルレイは、平均値で方程式を満たす「弱解」の存在を証明しました。これはポイントワイズではなく、平均的な意味で解が存在するというものです。
* 2016年、テレンス・タオは平均化された三次元ナビエ–ストークス方程式における有限時間爆発解を発表しました。この結果により、ナビエ–ストークス方程式の大域的正則性問題の超臨界性を示すことが可能になり、爆発解を構成する手がかりとなりうると主張しています。

これらの結果は、ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題が、非常に難解であることを示唆しています。未解決のまま残されているこの問題は、数学の大きな謎の一つであり、今後の研究の進展が期待されます。

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