ミレニアム懸賞問題

ミレニアム懸賞問題とは

ミレニアム懸賞問題（Millennium Prize Problems）は、アメリカのクレイ数学研究所によって2000年に提示された、各問題に100万ドルの懸賞金がかけられた7つの数学上の難問です。これらの問題は、それぞれの分野において非常に重要でありながら、長年にわたり解決されていないものです。ミレニアム賞問題、ミレニアム問題とも呼ばれます。

問題の概要

これらの問題は、数学の各分野で最も難解で重要な問題として知られています。賞金を得るためには、解決策が専門誌に掲載され、その後2年間の検証期間を経て、学界に受け入れられる必要があります。P≠NP問題とナビエ–ストークス方程式については、肯定的な解決だけでなく、否定的な解決に対しても賞金が与えられます。ただし、否定的な解決が問題の本質的な解決と見なされる場合に限ります。もし問題が修正された上で残る場合は、賞金は与えられません。

解決済みの問題

7つの問題のうち、ポアンカレ予想は2002年から2003年にかけてグリゴリー・ペレルマンによって解決されたとされています。彼の発表したプレプリント（査読前の論文）は、複数年の検証を経て正しいと認められ、2010年にクレイ数学研究所から賞が授与されました。しかし、ペレルマンはこの賞を辞退し、賞金は数学界への貢献のために使われることになりました。

未解決の問題

現在未解決の6つの問題は以下の通りです。

1. ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題 (Yang–Mills and Mass Gap)
任意のコンパクトな単純ゲージ群Gに対し、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が4次元空間上に存在し、質量ギャップΔ > 0を持つことを証明すること。

2. リーマン予想 (Riemann Hypothesis)
リーマンゼータ関数ζ(s)の非自明な零点sはすべて、実部が1/2の直線上に存在することを示すこと。

3. P≠NP予想 (P vs NP Problem)
計算複雑性理論におけるクラスPとクラスNPが等しくないことを証明すること。

4. ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ (Navier–Stokes Equation)
3次元空間と時間において、初期速度を与えたとき、ナビエ–ストークス方程式の解となる滑らかな速度ベクトル場と圧力のスカラー場が、大域的に存在することを示すこと。

5. ホッジ予想 (Hodge Conjecture)
複素解析多様体の特定のホモロジー類が、代数的なド・ラームコホモロジー類であること、すなわち、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるド・ラームコホモロジー類であることを示すこと。

6. バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想 (BSD予想、Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)
楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oによって生成される有限生成アーベル群の階数（ランク）が、EのL関数L(E, s)のs=1における零点の位数と一致することを示すこと。

関連情報

ミレニアム懸賞問題は、数学界において非常に重要な意味を持つだけでなく、一般の人々にも数学の奥深さを知ってもらうきっかけとなっています。これらの問題への挑戦は、数学の進歩を促すとともに、多くの人々の知的好奇心を刺激しています。

クレイ数学研究所の公式サイトでは、これらの問題の詳細や進捗状況が公開されており、関心のある方はそちらを参照ください。

Millennium Prize Problems

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