ナポレオンの定理

ナポレオンの定理

ナポレオンの定理は、どのような種類の三角形に対しても成り立つ興味深い幾何学的な性質を示す定理です。その内容は、元の三角形の形状にかかわらず、ある特定の手順で作図を行うと、必ず正三角形が現れるというものです。

定理の内容

この定理は、以下のように述べられます。

まず、考える任意の三角形（例えば、三角形ABC）を用意します。次に、この三角形のそれぞれの辺（辺AB, 辺BC, 辺CA）をそれぞれ一辺とする三つの正三角形を作図します。これらの正三角形は、元の三角形の外側に描く場合と、内側に描く場合との二通りが考えられます。

外側のナポレオンの三角形: 元の三角形の辺を共有する形で、三つの正三角形をその外側に作図します。これらの三つの正三角形それぞれの重心を求め、それらを直線で結びます。すると、得られる三角形は常に正三角形となります。
内側のナポレオンの三角形: 同様に、元の三角形の辺を共有する形で、三つの正三角形をその内側に作図します。ただし、元の三角形の辺よりも短い辺を持つ正三角形を作る必要がある場合もあります。これらの三つの正三角形それぞれの重心を求め、それらを直線で結びます。この場合も、得られる三角形は常に正三角形となります。

このようにして得られる二つの正三角形は、「ナポレオンの三角形」と呼ばれます。

ナポレオンの三角形の性質

ナポレオンの三角形には、いくつかの注目すべき性質があります。

1. 面積の関係: 外側に作図して得られるナポレオンの三角形の面積と、内側に作図して得られるナポレオンの三角形の面積との差は、ちょうど元の三角形の面積に等しくなります。
2. 重心の一致: 外側のナポレオンの三角形と内側のナポレオンの三角形は、どちらもその重心が元の三角形の重心と完全に一致します。

ナポレオン点

ナポレオンの定理に関連して、「ナポレオン点」と呼ばれる特別な点が定義されます。

ナポレオンの三角形（特に外側のナポレオンの三角形を考えることが多いですが、内側でも同様です）のそれぞれの頂点と、元の三角形の対応する頂点を結んだ三つの直線は、一点で交わります。この交点がナポレオン点です。

具体的には、元の三角形をABCとし、その辺AB, BC, CAの外側に描いた正三角形の頂点をそれぞれD, E, Fとします（Dは元の三角形と反対側、Eは元の三角形と反対側、Fは元の三角形と反対側）。この三つの正三角形の重心をそれぞれP, Q, Rとすると、三角形PQRが外側のナポレオンの三角形です。このとき、直線AP, BQ, CRは一点で交わります。この点がナポレオン点です。

ナポレオン点は、三角形の幾何学における著名な中心の一つであるキーペルト点の特別な場合（キーペルト角が30°の場合）に相当し、様々な興味深い点が位置することで知られるキーペルト双曲線上に存在します。

定理の名称について

この定理が「ナポレオンの定理」と呼ばれているのは、フランスの皇帝ナポレオン・ボナパルト（Napoleon Bonaparte）が発見した、あるいは少なくとも関心を持っていたという言い伝えがあるためです。しかし、彼自身がこの定理を発見または証明したことを示す信頼できる歴史的な記録や資料は、現在のところ見つかっていません。そのため、実際にナポレオンがこの定理に関わっていたかどうかは、数学史上の謎の一つとされています。

関連項目

フェルマー点
キーペルト双曲線
* 三角形の中心

この定理は、単純な作図から予想外の美しい結果が導かれる例として、幾何学の世界で広く知られています。

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