フェルマー点

フェルマー点（またはトリチェリ点、等角中心）は、幾何学において、与えられた三角形の三つの頂点からの距離の合計が最小となる点を指します。

定義と性質

この点は、すべての内角が120度未満である三角形の場合に三角形の内部に存在し、その位置で各頂点からの距離の和が最小となります。もし三角形に120度以上の内角がある場合は、最も大きい内角を持つその頂点自体が、距離の和を最小にする点となります。すべての内角が120度未満の場合、フェルマー点Fは三角形の内部にあり、各頂点A, B, Cとフェルマー点を結んでできる角、すなわち∠AFB、∠BFC、∠CFAは全て120度となります。

作図方法

フェルマー点を見つけるための作図方法はいくつか存在します。代表的な方法としては、まず対象となる三角形のそれぞれの辺を一辺とする正三角形を、元の三角形の外側に作図します。次に、元の三角形の各頂点から、その対辺に作図した正三角形のうち、元の三角形と頂点を共有しない方の頂点へ直線を引きます。これらの3本の直線は必ず一点で交わります。この交点が第1フェルマー点です。

もし正三角形を三角形の内側に作図した場合も、同様の操作で3本の直線は一点で交わります。この交点は第2フェルマー点と呼ばれ、第1フェルマー点とは異なる点になります。

幾何学的特徴

フェルマー点は多様な幾何学的性質と結びついています。例えば、第1フェルマー点の作図において三角形の外側に描いた3つの正三角形のそれぞれに外接する円は、興味深いことに全て第1フェルマー点を通ります。さらに、これらの外接円の中心を結ぶと、正三角形ができます。これはナポレオンの定理として知られています。

また、第1フェルマー点から元の三角形の3辺にそれぞれ垂線を下ろしたとき、その垂線の足が作る三角形も正三角形になります。第1フェルマー点と第2フェルマー点、三角形の外心、そして九点円の中心は、同一の円周上に位置します。この円はレスター円と呼ばれています。

第1フェルマー点、第2フェルマー点、および三角形の類似重心は、一本の直線上に並びます。この直線をフェルマー軸と呼びます。第1フェルマー点と第2フェルマー点の等角共役点（三角形の特定の点と頂点を結ぶ直線を、内角の二等分線に関して鏡映したときに得られる点）は、それぞれ第1等力点、第2等力点として知られています。

作図の際に正三角形ではなく、各辺を底辺とする相似な二等辺三角形を用いると、同様の方法で得られる交点はキーペルト点と呼ばれます。フェルマー点は数あるキーペルト点の一つであり、全てのキーペルト点はキーペルト双曲線という特定の双曲線上に存在します。

数学的記述

第1フェルマー点の位置は、三角形の内角A, B, Cを用いて三線座標で表現でき、$$\csc \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right)$$となります。第2フェルマー点の三線座標も、この式の $\pi/3$ を $-\pi/3$ に置き換えることで得られます。

歴史

フェルマー点に関する問題は、17世紀に数学者ピエール・ド・フェルマーがエヴァンジェリスタ・トリチェリへの私信の中で提示したことに由来します。このため、「トリチェリの問題」とも呼ばれます。トリチェリはフェルマーとはやや異なる方法（外接円の交点を利用するなど）で解を見つけました。トリチェリの弟子であるヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニが、1659年にこの解を発表しています。

関連概念

ヴェルナウ点なども関連概念として知られています。

フェルマー点は、単に距離の最小値を求める問題の解であるだけでなく、三角形の中心の一つとして、他の様々な幾何学的性質や特別な点と関連しており、近代幾何学における重要な概念の一つとされています。

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