ナーゲル点

ナーゲル点 (Nagel Point)

ナーゲル点とは、幾何学における三角形の中心の一つであり、与えられた任意の三角形に対してただ一つに定まる特別な点です。この点の概念は、三角形の幾何学的な性質を深く理解する上で重要な意味を持ちます。

定義と構成方法

ナーゲル点の定義は、三角形の傍接円と深く関わっています。まず、三角形ABCを考えます。辺BCに対して外側に接する傍接円を考えると、この円と辺BC（あるいはその延長線）の接点をTAとします。同様に、辺CAに対する傍接円とCAの接点をTB、辺ABに対する傍接円とABの接点をTCと定義します。

次に、三角形の各頂点と、その対辺に対応する傍接円の接点を結ぶ直線を引きます。すなわち、頂点Aと接点TAを結ぶ直線ATA、頂点Bと接点TBを結ぶ直線BTB、そして頂点Cと接点TCを結ぶ直線CTCです。これら三つの直線ATA、BTB、CTCは必ず一点で交わることが知られています。この交点がナーゲル点です。これらの直線ATA、BTB、CTCは中界線とも呼ばれます。

名称の由来

この点は、1836年にドイツの数学者クリスティアン・ハインリヒ・フォン・ナーゲル（Christian Heinrich von Nagel）によって言及されたことにちなんで名付けられました。ナーゲルによるこの点の特定は、三角形の幾何学における点の体系化に貢献しました。

周長を二等分する性質

ナーゲル点の定義に関連する重要な性質として、頂点と傍接円の接点を結ぶ線分が、三角形の周長を二等分するという性質があります。例えば、頂点Aから出発して辺ABを通って接点TAに至る経路（A→B→TA）の長さと、頂点Aから出発して辺ACを通って接点TAに至る経路（A→C→TA）の長さが等しくなります。この性質から、ナーゲル点は周長二等分点（bisected perimeter point）と呼ばれることもあります。

他の重要な点との関係

ナーゲル点は、三角形の他の重要な中心点と密接な関係を持っています。特に、三角形の重心（Centroid）と内心（Incenter）は、ナーゲル点と常に同一直線上にあります。この三つの点が乗る直線をナーゲル線と呼びます。

また、元の三角形の中点三角形（各辺の中点を結んでできる新しい三角形）を考えると、その内心が元の三角形のナーゲル点と一致するという興味深い関係も存在します。

さらに、ナーゲル点はジェルゴンヌ点（Gergonne Point）と等長共役（Isotomic Conjugate）の関係にあります。ジェルゴンヌ点は、三角形の各辺と内接円の接点を結ぶ三つの直線が交わる点であり、ナーゲル点とは定義の類似性と特別な幾何学的変換による関係があります。

座標による表現

ナーゲル点は、三角形の頂点や辺の長さを用いて座標で表現することも可能です。例えば、三角形ABCの角の大きさをA, B, Cとし、対辺の長さをそれぞれa, b, cとすると、ナーゲル点の三線座標（Trilinear Coordinates）は以下のように表されます。

$\csc^2(A/2) : \csc^2(B/2) : \csc^2(C/2)$

または、辺の長さを用いて以下のように表すこともできます。

$\frac{b+c-a}{a} : \frac{c+a-b}{b} : \frac{a+b-c}{c}$

また、重心座標（Barycentric Coordinates）を用いると、より簡潔に以下のように表現されます。

$(b+c-a) : (c+a-b) : (a+b-c)$

これらの座標表現は、ナーゲル点の位置を解析的に特定する上で役立ちます。ゲラトゥリは1913年にこれらの座標を示しました。

ナーゲル点は、このように三角形の傍接円や周長、他の中心点と関連付けられる、豊かな性質を持つ幾何学的な点です。三角形の幾何学の研究において、その特異な性質から重要な研究対象の一つとなっています。

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