ジェルゴンヌ点

ジェルゴンヌ点（Gergonne Point）は、平面幾何学における三角形の中心の一つです。この特定の点は、19世紀初頭に活躍したフランスの数学者ジョセフ・ジェルゴンヌの名を冠しており、1818年に彼自身が発行していた数学雑誌「Annales de Gergonne」にその存在が記述されたことから広く知られるようになりました。

定義

ジェルゴンヌ点は、任意の三角形ABCに対して、その内接円が辺BC、CA、ABとそれぞれ接する点をX、Y、Zと定めたとき、頂点Aと点X、頂点Bと点Y、頂点Cと点Zを結んだ三本の直線AX、BY、CZが交わる一点として定義されます。

存在の証明

この三直線AX, BY, CZが必ず一点で交わることは、比較的容易に証明できます。円の接線の性質により、例えば頂点Aから内接円に引かれた接線の長さは等しくなるため、AY=AZ、BZ=BX、CX=CYという関係が成り立ちます。これらの等式を考えれば、チェバの定理の逆を用いることで、三直線が一つの点で交わることが示されます。この交点がジェルゴンヌ点です。

主な性質

ジェルゴンヌ点は、他の様々な三角形の中心や幾何学的対象と興味深い関係を持っています。

- 内心、ド・ロンシャン点と共に、ソディ線と呼ばれる特別な直線上にあることが知られています。
- ナーゲル点とは等長共役の関係にあります。これは、ある点Pのチェバ三角形の頂点と元の三角形の頂点を結ぶ直線が、別の点Q（Pの等長共役点）に対して同様に作られる直線の等長共役であることを意味します。
- 内接円と外接円の内側の相似中心X55とは等角共役の関係にあります。これは、ある点Pと頂点を結ぶ直線が、別の点Q（Pの等角共役点）と頂点を結ぶ直線の角を等分することを意味します。
- 重心座標系を用いると、三角形の3辺の長さをa, b, cとしたとき、ジェルゴンヌ点の重心座標は以下の式で表されます。

$${\displaystyle {\frac {1}{-a+b+c}}:{\frac {1}{a-b+c}}:{\frac {1}{a+b-c}}}$$
この式は、内接円の接点X, Y, Zが辺を分ける比（BX/XC, CY/YA, AZ/ZB）が簡単に表現できることから導かれます。

- ジェルゴンヌ点は、フォイエルバッハ双曲線と呼ばれる特定の幾何学的軌跡上にも位置することが知られています。

関連概念

ジェルゴンヌ点に関連して、いくつかの重要な図形が定義されます。

ジェルゴンヌ三角形

ジェルゴンヌ点Pに対するチェバ三角形、すなわち、元の三角形ABCの辺BC, CA, ABと、AP, BP, CPの延長線との交点をそれぞれX, Y, Zとしたときにできる三角形XYZは、ジェルゴンヌ三角形と呼ばれます。定義から明らかなように、この三角形の頂点X, Y, Zは、内接円が各辺と接する点そのものです。そのため、ジェルゴンヌ三角形は接触三角形（intouch triangle, contact triangle）とも呼ばれます。

ジェルゴンヌ線

元の三角形ABCと接触三角形XYZは、互いに配景（perspectivity）の関係にあります。この二つの三角形の対応する辺の交点（ABとXY、BCとYZ、CAとZX）は同一直線上にあることが知られており、この直線をジェルゴンヌ線と呼びます。ジェルゴンヌ線は、前述のソディ線と直交するという興味深い性質を持っています。

アダムス円

接触三角形XYZの辺YZ, ZX, XYにそれぞれ平行で、かつジェルゴンヌ点を通る三本の直線l, m, nを考えます。直線lが辺AB, ACと交わる点、直線mが辺BA, BCと交わる点、直線nが辺CA, CBと交わる点、これら合計6つの点は常に同一円周上にあります。この円をアダムス円と呼びます。アダムス円は19世紀の数学者カール・アダムスの名にちなんで名づけられ、その中心は元の三角形の内心に一致します。アダムス円の半径は、三角形の半周長s、内接円の半径r、そしてp = ab + bc + caを用いた以下の式で表されます。
$${\displaystyle {\frac {r{\sqrt {p^{2}-abcs-ps^{2}}}}{p-s^{2}}}}$$
これらのアダムス円上の6点は、もう1つの特別な三角形の類似重心や第一ルモワーヌ円と関連付けられる、豊かな幾何学的性質を持っています。

このように、ジェルゴンヌ点は三角形の内接円を通じて定義される点でありながら、他の様々な三角形の中心や関連する図形との間に多様で深い関係性を持つ、幾何学における重要な点の一つです。

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