ニュートン・コーツの公式

ニュートン・コーツの公式

ニュートン・コーツの公式は、等間隔の点での被積分関数の値を利用して数値的に積分を行う方法の総称です。これは、アイザック・ニュートンおよびロジャー・コーツの名前に由来しています。この手法は、与えられた点における関数値を基にして、積分の近似を行う際に非常に有用です。ただし、他の点での関数値も必要な場合には、ガウス求積法やクレンショー・カーチス法など、異なる方法の方がより適していることがあります。

概要

ニュートン・コーツの公式は、主に2つのタイプに分けられます。一つは端点を用いる「閉じた」公式で、もう一つは端点を用いない「開いた」公式です。例えば、n次の閉じたニュートン・コーツの公式は以下のように表されます。

$$
\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=0}^{n} w_i f(x_i)
$$

この式で、$x_i$ は以下のように定義されます。

$$
x_i = a + i \frac{b - a}{n} \, (i=0,1,...,n)
$$

重み $w_i$ はラグランジュ補間に基づいて算出されます。この方法の利点は、重みが関数 $f$ に依存せず、点 $x_i$ のみに基づいて決まる点です。

開いた公式

開いたニュートン・コーツの公式の場合、点の位置は以下のように設定されます。

$$
x_i = a + (i + 1) \frac{b - a}{n + 2} \, (i=0,1,...,n)
$$

この場合も重みは閉じた公式と同じく、ラグランジュ補間に基づいて計算されます。

誤差と重みの計算

ここでの誤差項 $E$ は以下のように定義されます。

$$
\int_a^b f(x) \, dx - \sum_{i=0}^{n} w_i f(x_i) = E
$$

また、関数 $f$ の導関数の次数が、誤差がゼロになる次数を示しており、数値的な精度に重要です。

重みを求める際は、線形方程式系を用いる手法も有効です。この際、ファンデルモンド行列を用いて重みを導出します。

高次での不安定性

ニュートン・コーツの公式は様々な次数に対応できますが、高次の場合にはルンゲ現象という問題が生じます。これは、次数が増加するに従い、誤差が指数関数的に増大するため、一般に高次の計算は不安定です。従って、高次の計算を行う場合には、ガウス求積法やクレンショー・カーチス法といったその他の手法が好まれることが多いです。

合成積分公式

ニュートン・コーツの公式の精度を向上させる方法として、積分区間 [a, b] を小さく分割し、各部分区間で公式を適用し、その結果を合計することで精度を上げる「合成積分公式」があります。この手法により、ルンゲ現象を回避しつつ、計算結果の誤差を小さく抑えることが可能です。

まとめ

ニュートン・コーツの公式は、数値積分法の中でも広く用いられる基本的な手法です。等間隔の点を利用することで、比較的簡単に積分計算を行うことができますが、高次における誤差や不安定性については注意が必要です。そのため、様々な手法を併用しながら、問題のタイプに応じた適切なアプローチを選ぶことが重要です。

参考資料

1. Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1972). "Handbook of Mathematical Functions".
2. Forsythe, G. E.; et al. (1977). "Computer Methods for Mathematical Computations".
3. Press, W. H. et al. (2007). "Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing".
4. Stoer, J.; Bulirsch, R. (1980). "Introduction to Numerical Analysis".

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