数値積分

数値積分とは何か？

数値積分は、関数の定積分を解析的に解く代わりに、数値的に近似値を求める手法です。これは、複雑な関数や解析解が得られない場合に非常に有効なアプローチとなります。数値積分は、工学、物理学、経済学など、様々な分野で応用されています。

乱数を使わない数値積分法

乱数を使わない数値積分法は、主に以下の公式や手法に分類されます。これらの手法は、積分区間を小さな小区間に分割し、各小区間での関数の値を用いて積分値を近似します。

1変数関数

ニュートン・コーツの公式: 様々な近似公式の総称で、中点則、台形公式、シンプソンの公式などが含まれます。中点則と台形公式は単純な近似ですが、シンプソンの公式はより高精度な近似を与えます。これらの公式の誤差は、被積分関数の導関数の次数に依存します。
ロンバーグ積分: 台形公式と数列の加速法を組み合わせることで、より高い精度を得る方法です。
ガウス求積: 積分点を最適に配置することで、少ない計算量で高精度な結果を得る手法です。ガウス＝クロンロッド求積法やクレンショー・カーティス法も、ガウス求積を改良した手法です。
二重指数関数型数値積分公式、IMT積分: 被積分関数が積分範囲の端点で特異性を持つ場合でも、積分値を計算できる場合があります。

多変数関数

2変数以上の多重積分では、外側の変数を固定し、内側の積分を数値的に計算することで求めることができます。しかし、変数の数が増えると計算量が爆発的に増加するため、モンテカルロ法や準モンテカルロ法が効率的になります。特に、高次元空間での積分は、金融工学などにおいて重要な課題であり、盛んに研究されています。

精度保証付き数値積分

数値積分の結果にどの程度の誤差が含まれるのかを保証する手法です。被積分関数を多項式で近似し、その多項式の積分を精度保証付きで計算します。多項式の計算にはホーナー法がよく使われ、近似にはテイラー展開や多項式補間が用いられます。

特殊な手法

特殊関数の零点を活用する近似公式: ガウス求積は直交多項式の零点を活用しますが、ベッセル関数などの零点を活用する公式も開発されています。
超関数を使った積分: 特異点を持つ積分に対して、佐藤超函数を用いることで特異点を回避し、誤差を抑える手法があります。
部分積分を使った数値積分: 振動積分に対しては、部分積分を組み合わせた数値積分が有効です。

乱数を使った数値積分法

高次元積分など、近似公式が適用しにくい場合に有効な手法です。

モンテカルロ法: 乱数を用いて積分値を確率的に近似する方法です。単純なモンテカルロ積分に加え、VEGAS法やMISER法など、より効率的な手法も存在します。
準モンテカルロ法: 一様乱数の代わりに超一様分布列を用いることで、モンテカルロ法よりも高速に収束する手法です。

無限区間積分の数値積分

積分範囲が無限区間の場合は、適切な変数変換を行うことで、有限区間の積分に帰着させることができます。変換後の積分は、上で説明した手法を用いて計算できます。

数値積分が困難なケース

数値積分は、被積分関数が滑らかで連続であることを前提としています。無数に不連続点を持つ関数や、広義積分不可能な関数の数値積分は困難です。コーシーの主値積分は計算可能であっても、広義積分不可能な関数は正しい結果が得られない場合があります。

数値積分の実装

様々なソフトウェアやライブラリで数値積分が実装されています。

乱数を使わない積分: QUADPACK (FORTRAN 77)、GNU Scientific Library (C言語)、SciPy (Python)、R言語、GNU Octave、NAG数値計算ライブラリ、IMSL、Boost Math Toolkit、Apache Commons Math (Java)
モンテカルロ積分: Cuba
数式処理システム/数値解析ソフトウェア: Mathematica、Maple、MATLAB
* 精度保証付き数値積分: INTLAB、kv、arb

関連文献

本記事で紹介しきれなかった詳細な内容や高度な手法については、関連文献を参照してください。上記に記載されている書籍や論文は、数値積分に関する深い知識を得るための貴重な資源となります。

外部リンク

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