ニューマン–シャンクス–ウィリアムズ素数

ニューマン–シャンクス–ウィリアムズ素数 (NSW素数)

ニューマン–シャンクス–ウィリアムズ素数、通称NSW素数は、特定の数学的形式を持つ素数です。この素数は以下の式で表されます。

$$
S_{2m+1} = \frac{(1 + \sqrt{2})^{2m+1} + (1 - \sqrt{2})^{2m+1}}{2}.
$$

ここで、$m$は非負の整数を表します。この型の素数は1981年、Morris Newman、Daniel Shanks、Hugh C. Williamsの3名によって初めて記述され、以降、数学の研究において重要な役割を果たしています。

NSW素数の具体例

いくつかの初期のNSW素数には、次のような数字があります：7, 41, 239, 9369319, 63018038201。これらは、オンライン整数列大辞典に登録された数列A088165に対応しています。興味深いことに、これらの素数は指数3, 5, 7, 19, 29と関連しており、オンライン整数列大辞典の数列A005850に記述されています。

数列の生成

NSW素数の基になる数列Sは、以下の漸化式に従って生成されます。

1. $S_{0} = 1$
2. $S_{1} = 1$
3. $S_{n} = 2S_{n-1} + S_{n-2}$ (for all $n \geq 2$)

この漸化式に基づいて生成される数列の最初の項は、1, 1, 3, 7, 17, 41, 99,...です。この数列は、オンライン整数列大辞典のA001333に記載されています。興味深いことに、この数列の各項は対応するペル数の数列の項の半分に相当します。

数の特性

また、これらのNSW素数は連分数の収束に関連しており、特に$
√2$に収束する挙動を示します。この事実は、数学界において非常に興味深いテーマとなっています。特定の数列を理解することにより、整数論や数理解析の深い洞察が提供されることが期待されています。

参考文献

この概念については、以下の文献が参考となります。

• - Newman, M.; Shanks, D.; Williams, H. C. (1980). “Simple groups of square order and an interesting sequence of primes”. Acta Arithmetica 38 (2): 129–140.

外部リンク

• - The Prime Glossary: NSW number

NSW素数の研究は、数論の様々な側面に光を当てるものと期待され、多くの数学者によって現在も注目されています。

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