ネールント–ライス積分

ネールント–ライス積分について

ネールント–ライス積分（Nörlund–Rice integral）は、数学の分野で特に有名な公式です。この積分は、関数のn階前進差分を複素平面での線積分と関連付けるもので、様々な数学的および計算機科学の理論に使用されています。その名前は、ニールス・エリク・ネールントとステファン・オズワルド・ライスに由来しています。具体的には、ネールントがこの積分を定義し、ライスがその評価に関する重要な技法を確立しました。

定義

関数fのn階前進差分は、次の式で表されます。

$$\Delta^{n}f = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{n-k}f(x+k)$$

ここで、${n \choose k}$は二項係数を示します。この前進差分は、関数fが特定の形式を持つときに重要な情報を提供します。特に、有理型関数fに対するネールント–ライス積分は次のように与えられます。

$$\sum_{k=\alpha}^{n}{n \choose k}(-1)^{n-k}f(k) = {\frac {n!}{2\pi i}}\oint_{\gamma}{\frac {f(z)}{z(z-1)(z-2)\cdots (z-n)}}{dz}$$

ここで、$alpha$は0からnの範囲の整数であり、右辺の積分ルートは特定の極を囲みます。この式の革新性は、複素数平面上の特定のパターンと関数の評価をリンク付ける点にあります。

さらなる応用

一般に、この積分はオイラーのベータ関数を用いて書き直すことも可能です。これにより、異なる視点からの理解が得られます。関数f(z)が右半複素平面で多項式で制約される場合、積分路を無限大まで拡張することができ、次の式が得られます。

$$\sum_{k=\alpha}^{n}{n \choose k}(-1)^{n-k}f(k) = {\frac {-n!}{2\pi i}}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}{\frac {f(z)}{z(z-1)(z-2)\cdots (z-n)}}{dz}$$

ここでcはαの左側の定数です。このようにして、異なる設定での変換式を示すことができます。

ポワソン–メリン–ニュートン循環

ネールント–ライス積分は、ポワソン–メリン–ニュートン循環と関連しています。Flajolet, Sedgewick & Regnie（1985）によれば、この積分はメリン変換と密接に関係します。数列{fn}に関連づけられるポワソン母関数g(t)は、次のように表されます。

$$g(t) = e^{-t}\sum_{n=0}^{\infty}f_{n}t^{n}$$

これにより得られるメリン変換は、特定の形式を持ち、近似や評価の手法を示す役割を果たします。

リース平均との関連

リース平均の文脈においても、ネールント–ライス積分はしばしば登場します。これは、ペロンの公式がメリン変換と関係しているのと同様の方式で、リース平均の評価においても有用な関係を示します。

重要性と有用性

このように、ネールント–ライス積分は様々な数学的な課題に対して強力なツールを提供します。これらの積分は漸近展開や鞍点法を用いて評価できるため、前進差分級数に比べて計算が簡単です。特に、前進差分級数はnが大きくなると二項係数が急増するため、その数値的評価は難しいことがあります。ネールント–ライス積分の技術をマスターすることで、より複雑な数理的問題に対してもアプローチできるようになります。

参考文献

• - Nørlund, Niels Erik (1954), Vorlesungen uber Differenzenrechnung, New York: Chelsea Publishing Company.
• - Knuth, Donald E. (1973). The Art of Computer Programming. Addison-Wesley.
• - Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (1995), “Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice’s integrals”, Theoretical Computer Science 144: 101-124.
• - Kirschenhofer, Peter (1996), A Note on Alternating Sums, The Electronic Journal of Combinatorics 3 (2, article 7).

このように、ネールント–ライス積分は多くの数学的理論や実用の中で重要な役割を果たし続けています。

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